Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Динамическую систему (1.3) можно представить в виде
flft = ak (J Thh'Ok'dk'),
где ядро Tkk' антисимметрично и определяется формулами
Tw = Р2(б (A - к' + S) - 6 (к- к' - S)).
S=I
Поэтому система (1.3) является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергии ленгмюровских колебаний в случае, когда спектр (в /с-пространстве) имеет струйную структуру [43].
II. Важным следствием представления Лакса (1.4) для системы (1.3) является существование первых интегралов этой системы
/„ = Tr(а + тЕ)п", га = 1,2, ... (1.13)
103 Простое вычисление приводит к следующим формулам:
п Ji
1U+1 = 2 2 C(S)JJ oi-mr+s, + ... +Sm, (1.14)
i=l S1,... ,Sji т=о
где SiX), So = O, C(s) = (k + 1)г+ 1 — Si — ... — sk, S1 + ... ... + Sh < (к + 1)г. Интегралы Ih определены при условиях: 1) периодичности, ui^ai+n; 2) непериодичности, при ак = 0 для к<р— 1 и к> п. Интеграл Ih(a) является однородным многочленом степени к. Разумеется, между интегралами Ik (& = 1, 2, ...) имеются некоторые функциональные соотношения. Простейший интеграл Ii имеет
п
вид I1 = 2 аг- В периодическом случае имеется еще
t=l
п
аг
один первый интеграл J1 = JJ
г—1
С динамической системой (1.3) в периодическом случае (ai+n s си) связана риманова поверхность Г, определенная уравнением
R(E, w) = det(a(f)+ тЕ — и; • 1) = 0. (1.15)
Коэффициенты уравнения (1.15) также являются первыми интегралами динамической системы (1.3).
III. Укажем гамильтонову структуру динамических систем (1.3). После замены переменных = exp Ui система (1.3) принимает вид
V—1 р—1
щ = У ехрмі+й — 2 = ^Iim , (1.16)
A=1 ft=l m
где H = 2 exp um. Оператор Iim является кососимметри-
m
ческим и имеет следующие ненулевые компоненты:
Zwik = 1, 1, Ar= 1, 2, ..., P-і. (1.17)
В силу представления (1.16) динамическая система (1.3) является гамильтоповой с гамильтонианом Н. По-видимому, интегралы Ih (1.14) инволютивны относительно
скобок Пуассона {Z^, G} = 2 ^im > и система (1.3)
i,m im
является вполне интегрируемой по Лиувиллю. Из представления Лакса (1.4) со спектральным параметром E следует интегрируемость системы (1.3) в периодическом случае ai+n = а,- в тэта-функциях римановой поверхности Г (1.15).
104 IV. Динамические системы (1.3) входят в общий класс систем, выделенных В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование биологических видов [23]. При этом величина ak(t) является численностью популяции к-то вида (или ее плотностью); предполагается, что пищей для і-го вида являются особи видов і + 1, і + 2, ..., і + р — 1.
В работе [46] рассматривался, независимо от работ [12, 21, 47], специальный случай конечномерных динамических систем (1.3) в периодическом случае а,+п —в; и при условии п = 2р— 1. В этом случае любые два вида а,-, Cij «взаимодействуют» друг с другом (как хищник и жертва). В работе [46] при п = 2р — 1 с помощью комбинаторных методов найдены формулы для р первых интегралов рассматриваемой динамической системы. Формулы (1.14) в специальном случае п = 2р— 1 отличаются от формул первых интегралов, полученных в работе [46]. В частности, все первые интегралы, указанные в работе [46], имеют нечетные степени а,: 1,3,..., 2р — 1. Совпадают только первые интегралы Ii я Ji.
V. Рассмотрим задачу рассеяния, связанную с уравнением Лакса (1.4) при E = 1 и динамической системой (1.3). Предположим, что функции a,i{t) имеют асимптотику a,j(t)-+i при Собственные функции ф(к, t) оператора L{t, 1 ) = а + т (1.4) удовлетворяют уравнению
(Ілр(к, t))n = апу(к, і)„+і-р + ф(/е, t)n?і =
= кц>(к, t)n, (1,18)
где fceC — спектральный параметр. Линейное пространство решений уравнений (1.18) имеет размерность р. Выделим в этом пространстве два базиса собственных функций (pi (к, t) и (к, t), которые имеют следующие
аСИМПТОТИКИ ПрИ П ±оо:
(Фі(к, t))n = zu п->—оо, ^
(я|)j(k, t))n = Z1-, п-> + оо.
Числа Zi(к), Zj(к) являются корнями уравнения
zp — kzv~l + 1 = 0. (1.20)
Два базиса собственных функций ф;(&, t), If3 (к, I) связаны линейным соотношением
р
Фі (к, 0=2 Bii (к, t) % (к, t). (1.21)
j=i
Матрица Bi3 (к, t) называется матрицей рассеяния.
105 Покажем, что функции ф,(&, t) и t) удовлетво-
ряют уравнению
фг + Афг = — (p + z")^, А=— Ъ — т". (1.22)
Действительно, из уравнения Лакса, как известно, следует уравнение
L(<p<(u, 0 + Афі(Л, t)) = k(<p,(k, t)+A<fi[k, f)), (1.23)
В силу которого функция ф = ф; + Аф; является собственной функцией оператора L и поэтому имеет представление в виде ф = сіфі + ... + Срфр. В силу асимптотики (1.19) имеем
(фі + Афі)п = (фг)п — Ьпп (ф;)п — (фi)„+p = — {р + Z?) (фг)п-
Поэтому Cj = — (р + ) Sy, и уравнение (1.22) доказано.
Подставим соотношения (1.21) в уравнения (1.22), получим равенства
2 (By (M)-(/> + «?) By) і) =
п
= - (р + z?) 2 ВуїИМ). (1-24)
5=1
Отсюда находим уравнения, определяющие динамику компонент Bij(k, t):
В у (к, t) = (г? - г?) Bij {к, г). (1.25)
Поэтому динамика компонент матрицы рассеяния полностью интегрируется:
