Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
/(X) = (QR(X)Q-1^b ej) = (zR(zX)ei, e,) = zf(zX). (2.6)
Лемма 1 доказана.
109 Из второго равенства (2.4) следует, что матрица L вместе с любым собственным числом X имеет р собственных чисел zhX, к = 1, 2, ..., р, где Z = ехр(2лі/р). Поэтому число функционально независимых собственных чисел матрицы L не превосходит [п/р] и по крайней мере I = п — р [п/р] собственных чисел Xi = 0. Подставляя разложение (2.3) в равенство (2.6), находим
/w=ixV=22irV = 2VV-
^r1 X - Xk ^d zX-Xk ** X-Z 1Xk
Отсюда следует равенство коэффициентов pfe, р„ для которых собственные числа Xk, Xj связаны соотношением Xh = Z7I1Xj. Нулевым собственным числам Xh соответствует одно слагаемое IpJX. Переменные ph удовлетворяют связи pi + ... + p„=l, которая следует из асимптотики резольвенты R(A) = Ar1 id при X оо и формулы (2.3). Поэтому число независимых коэффициентов как и число собственных чисел Xj, не превосходит [njр]. В силу указанной связи существуют такие координаты rh, что
Pfe = rk ^ 2 r.j j .
Покажем, что переменные rh, Xi определяют интегрируемую редукцию системы (1.3). Для этого продифференцируем функцию f(X) (2.3) по времени, используя равенство (2.2), получим
f (X)=iR{X)eh ei)=i((RA-AR)eb et) =
= (RAeb ei) — (Rfii, A'ei). (2.7)
Из формул (1.5), (1.8) получаем Aei = —ЬцЄі, A'ej = = —ЬцЄі — ЕеР+1; поэтому из формул (2.7) следует равенство
f(X) = (R(X)ev Eep+1) = 2 ahEx-xP+l)* (2-8)
Обозначим (і|Л Єі) = -фі- В силу определения LiJ;'1 = /.,,1(}'1 имеем систему уравнений
Exрк2 = Ягд|)ї, ..., = XhMpl^1, avxp\ + = Xh^n
(2.9)
из которой следует соотношение
= (XiE-V - UpE-1) (2.10)
110 После подстановки этого выражения в • формулу (2.8) получаем
у№El~v-q^^ у ~a^
(2ЛЇ)
Дифференцируя разложение (2.3) по времени и сравнивая с формулой (2.11), получаем систему дифференциальных уравнений
р* = (Wp-Op)PA. (2.12)
п
Покажем, что справедливо равенство ар — 2 ''ч'іЕл~рри-
h=i
Действительно, в силу определений имеем
ft=1 ) h^l'
(R (X) Lpei, ej = R (X) Lp 2 «ИЛ ех = 2 =?-. (2.13)
Для оператора L = а + тЕ справедлива формула (Lpeі, ei) = CbpEp-1. Асимптотика резольвенты при X ->• оо имеет вид R(I) = A-1 id. Поэтому из (2.13) следует, что
2 Afrft = avEv~\ (2.14)
ft=і
В силу равенства (2.14) и уравнений (2.12) получаем систему дифференциальных уравнений для переменных rh:
rh = XpkE1^rk, Xk = O. (2.15)
Полученные (уравнения представляют собой интегрируемую редукцию динамической системы (1.3), в силу которой
i-ft(f) = rgexp( — XvkE1^t), Aft = Const. (2.16)
Число независимых переменных rk, Xk равно 2 [njp\ в силу тождеств (2.4). При р = 2 система (1.3) сводится к системе Вольтерра (1.1). В. этом случае переменные гк, Xh образуют систему координат в пространстве неизвестных сц, ..., й„_і и формулы (2.16) определяют интегрирование системы Вольтерра, осуществленное в работе [30].
111 fit; = a\
§ 3. Интегрируемые динамические системы с произвольной степенью нелинейности
•I. В данном параграфе изучается второе счетное множество интегрируемых дискретизаций уравнения Кортеве-га — де Фриза, которые, в отличие от динамических систем (1.3), имеют произвольную степень нелинейности.
Теорема 2. При любом целом р^ 2 динамические системы
/р-1 P-I \
«І = «І П ?i+h — П ai+h , (3.1)
\ft=i ft=i / Р—1 р-1 \
п fli+ft-П ві-J (З-2)
ft=i й=і у
допускают представление Лакса и в континуальном пределе переходят в уравнение КдФ (1.2).
Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
(a + mEy = [a + mE, avE~% (3.3)
где матрицы а и m имеют только по одному ненулевому элементу в каждом столбце, которые определяются формулами
я», г+1=яг, iri{,i+i-p = —1. (3.4)
В этом случае матрица ар имеет следующие ненулевые элементы:
р—1
(аР)г,г+Р = П «i+A- (3.5)
.ft= О
Уравнение (3.3) сводится к трем матричным уравнениям
d = [m, av], [a, a"] є= 0, Jh = 0. (3.6)
Первое уравнение (3.6) в силу (3.4), (3.5) эквивалентно динамической системе (3.1).
Представление Лакса для системы (3.2) имеет вид
(a + mE)' = [а + mE, (3.7)
где ненулевые элементы матриц а, тп, а]~р определяются формулами
р-1
аг,г+1 — аг 1I ШіЛ+р — — Ii P)i,i—р+1 = XT ai—ft- (3-8)
A=1
112 Уравнение (3.7) сводится к трем матричным уравнениям a = [т, а1-*], [а, а1_р] = 0, т = 0. (3.9)
Первой, уравнение (3.9) в силу формул (3.8) эквивалентно динамической системе (3.2).
Переходя к выводу континуального предела динамических систем (3.1), (3.2), предположим, что справедливы равенства CLj = 1'— E2u(t, Xj), Xj=JR, где u(t, х) — некоторая гладкая функция. Тогда системы (3.1), (3.2) принимают вид
г2 d^ (t, Xj) = (I-E2U(^xj))mX /р-1 р-1 \ X ГГ(1 - е2м (t, Xj + кг)) - П(1 - (t, Xj - Ae)) , (3.10)
\ ft= 1 Zi=I /
где т = 1 и т = 2 в случае систем (3.1) и (3.2) соответственно. Отсюда получаем
р-1
2 (u(t, Xj+ кг)—u(t, Xj—Ae)) — Lft=I
du
W(t, Xj) = (1 -E2U (t,Xj)Y
P-1
—є2 2 (u(t, Xj + ke)u(t, Xj + h) — u(t, Xj—ks)u(t, Xj-U)) I + ,Mi
