Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
+ О (г1)
После подстановки разложения функции u(t, Xj ± Ає) в ряд Тейлора находим
%(t,Xj) = (2EVfk Ь +
+ ES
/ дх h=l J
P-I р—1
P-I
-2 т^к+ Ък + 1)иЦ + Цк>
ft=і
h^l
дх ' 3^1firV
+ 0(гь).
Вычисляя указанные суммы, получаем систему ^pi =
Г, P_1 N -Ї2»
ft=i
du ,. . , .. du ,
-(IyXj) = EP(P-I)- +
дх
+ E*[-p(p-l)(p + m-2)ufx + lid^J+0(Eb). (3.11)
О. И. Богоявленский
ИЗ Уравнение (3.11) после перехода к новым переменным t' = t, X = X + р (р — 1) et принимает вид
(3.12)
После замены переменных -V = -E3Xt', Xi= ах',
о =Ір(р —і)(р + т — 2) /6ц)1/2, и = цо3
и перехода к пределу є -»- 0 уравнение (3.12) преобразуется в уравнение Кортевега — де Фриза (1.2). Теорема 2 доказана.
II. Динамические системы (3.1), (3.2) после введения обозначений
р—2 р—1
Ьг=П аг + Ъ Ci=JJai+h (3.13) ft=о ft=o
принимают вид
ai = at(bi+1 — bi-p+i), (3.14)
ai = a,i(Ci — Ci-P+1). (3.15)
Из этих уравнений в силу (3.13) следуют динамические системы
/р-1 р-1 \ . /р-1 р-1 \
bi = bi \ 2 bi+k — 2 b%—ft , Сі = Сі I 2 Ci+h — 2 ci~k » Vft=i ft=i J Vft=i fc=i /
,(3.16)
Таким образом, системы (3.1), (3.2) с помощью отображений (3.13) преобразуются в одну динамическую систему (3.16), имеющая вид (1.3). Отображения (3.13) вида
Ьі = аійі+і.. .ai+g-i, i(3.17)
вообще говоря, необратимы и преобразуют системы (3.1) и' (3.2) на некоторые инвариантные подмногообразия системы (1.3). Рассмотрим периодический случай ai+n~ai. Пусть числа п и q не являются взаимно простыми, т. е. n = sd, q = gd. Тогда в силу формул (3.17) при любых і ж j справедливы соотношения
5 s
П bi+ы = П bj+kdt (3.18)
ft=i ft—і
114 среди которых имеется d — 1 функционально независимых соотношений. Формулы (3.18) определяют инвариантное подмногообразие—образ отображения (3.17).
Пусть числа га и q взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа к ж I, что kn=lq — 1. В этом случае отображение (3.17) обратимо, причем обратное отображение определяется формулами
і-1 п—Х
In йг = 2 In bi+mg ~ ^ 2 ІП bi+m• (3'19) m=o пі=О
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. Б периодическом случае ai+n^a{ динамические системы (3.1) и (1.3) эквивалентны, если (га, р —1)=1. Системы (3.2) и (1.3) эквивалентны, если (п, />)=1. Системы (3.1) и (3.2) взаимнр эквивалентны, если (га, р) = 1 и (га, р — 1) = 1.
III. Из представления Лакса (3.3) следует '.наличие у динамической системы (3.1) первых интегралов Ik = = Tr Liip, ще L = a + mE. Прямое вычисление привадит к следующим явным формулам:
(-1 )h+1Ih+1=i S C(q)U Паі+т+ (3.20)
1=1 »J.....Sg a=lm=o
Sj ЇМ, S| + ... + s,<(/c + l)r, I^q sS k + 2,
C(q) = k+3-q,
(3.21)
Cj = Si + . . . + Sj-I — (/' — 1) Г.
Эти формулы справедливы в «периодическом случае af ^= = ai+n и в непериодическом случае при а, = 0 для j < 1,
І ^ га.
IV. Рассмотрим задачу рассеяния, связанную с уравнением Лакса (3.3) и динамической системой (3.1), в классе финитных решений с асимптотикой ап ->¦ 1 при га->-±оо. Собственные функции оператора L(?, 1 ) = а + т (3.3) удовлетворяют уравнению
(1д|i(k, t))n = t)n+i-p + anty(k, t)n+i = kty{k, t)n,
(3.22)
где k є С — спектральный параметр. Пространство решений уравнения (3.22) имеет размерность р. Выделим в этом пространстве два базиса собственных функций Фі(А, t) и %(fc, t), которые имеют следующие асимпто-
8* 115 тики при п ->-
(фі (к, t))n = zп, п -V — оо; (Ij)j (к, t))n = Zj, и + оо.
(3.23)
Числа Zi(Ar), Zj(Zc) являются корнями уравнения
Zp - Zezp-1 -1 = 0. (3.24)
При /? = 2 уравнение (3.24) имеет два корня zi, Z2, связанных соотношениями Z2= — Z1 \ к = Z1 + Z1 . Это :— случай дискретного уравнения КдФ, подробно рассмотренный в работах [30, 44, 45].
Покажем, что функции ері(к, і) и (к, t) удовлетворяют уравнению
Фі + Афі = г?фг, А = ар. (3.25)
Действительно, из уравнения Лакса, как известно, следует уравнение
Ь(фi{k, t)+Aц>г(к, t)) = k{^(k, f)+A<p,(fc, t)), (3.26)
B силу которого функция ф = фі + Афі является собственной функцией оператора L и поэтому имеет представление в виде ф = сіфі + ... + Cp(fp. В силу асимптотики (3.23) имеем
р-1
(фі + Афі)„ = (фі)„ + IT an+h((Pi)n+P = ft=о
= z?+p = z?( Фі)„. (3.27)
Поэтому Cj = zfoij и справедливость уравнения (3.25) доказана.
Два базиса собственных функций фі(Zc, t) и %(Zc, t) связаны линейным соотношением
фі (ft. 0=2 bU (ft. О (ft. О- (3.28) j=i
Подставив разложения (3.28) в уравнения (3.25), получим равенства
2 (Bii (к, о + ZjBij (к, 0) ь (ft, О = 2? І] Bij (к, о
i=i j=i
Отсюда находим уравнения, определяющие динамику компонент матрицы рассеяния
Bij (к, t) = (г? - Zj) By (M)- (3.29)
116 Решения этих уравнений имеют вид
Bij (к, t) = Bjj (к, 0) ехр ((г? - z?) 0- (3.30),
В частности, справедливы соотношения Bii(к, t) = Вй(к, 0), By(fc, t)BH(k, f)=B«(A, 0)Bji(ft, 0).
V. Рассмотрим задачу рассеяния в случае полубесконечных матриц L = а + т и А = ар, для индексов которых /, п имеем j, п> 1. В этом случае в первых р —1 строках матрицы L имеется только по одному ненулевому элементу Li|i+i= du Поэтому уравнение Lij- = /п|; при п < р имеет вид
