Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
120 (Lpei, ei) = ai«2 • • • ?p-i- Поэтому приравнивая асимптотики обеих частей равенства (4.11) при А->-'получаем выражение (4.10).
Как отмечалось выше, справедливо равенство pi + + р2 + . . . + Pn = 1. Вследствие этого можно ввести проективные координаты г,„ для которых
Переменные rk определены с точностью до общего множителя. Система уравнений (4.9) в силу равенства (4.10) эквивалентна системе уравнений
Уравнения (4.13) являются интегрируемой редукцией динамической системы (3.1). Их решения имеют вид
rk (t) = Л exp (Jl#), Kk = const.
Эти формулы, очевидно, сохраняют равенство переменных гй, T1, для которых Kk = ZmXj, так как Zp = 1.
Переменные гк как функции от а\, ..., ап-\ строятся с помощью операций линейной алгебры (вычисление резольвенты), которые вполне эффективны. Полное число независимых переменных в системе (4.13) не превосходит 2 [п/р]. При р = 2 переменные rh, Kj образуют систему координат в пространстве аи ..., ап-\. В силу этого обстоятельства в работе [30] было проинтегрировано дискретное уравнение КдФ (уравнения (3.1) при р = 2 совпадают с дискретным КдФ). В общем случае р > 2 из проведенных рассуждений следует, что система (3.1) в некоторых координатах rk, Kj, Ьі имеет эквивалентный вид
rk = Kpkrk, Kh = 0, bi = fi (rk, Kj, bv ..., bd). (4.14)
Здесь число координат b( равно d = п — 1 — 2 [п/р].
I. С каждой динамической системой вида (1.3), (3.1) или (3.2) связана бесконечная иерархия интегрируемых динамических систем, допускающих представление Лакса с той же матрицей L, но с более сложными матрицами А. Операторы Лакса L и Aft для иерархии «высших» дина-
(4.12)
rh = Xkr ft, Kh = 0.
(4.13)
§ 5. Интегрируемые дискретизации второго уравнения КдФ
121 мичеоких систем, связанных с (1.3), определяются формулами
ft-1
L = а + тЕ, Ah = Ъ + 2 CiE1 + $hmkpE\ (5.1)
j=I
где матрицы a, m, Ъ, Cj имеют только следующие ненулевые элементы:
— о,г, тпІМ\ = 1, ha, (Cj)tj+pj. (5.2)
Уравнение Лакса L = [L, А,,] со спектральным параметром E сводится к системе уравнений
a = [a, b], [a, Ci] + [m, b] = m = 0, -
[a, + C3-1]:= 0, [a, $hmhp] + [тп, ck-1] = О,
где / = 2, ..., к— 1. Решения последних двух уравнений (5.3) имеют следующий алгебраический вид:
ftp—і
Ch^1 = h-im(h~1)p + ?ft I0 miamhp-1-i,
(ft-i)p-i ,
Cft_2 = ?ft_2m(ft-2» + pft_x S mW-^1-' +
.7=0
ftp—1 і—1
+ ?ft S 2 ^Wip"1-W-^i. i = 0 i=0
После подстановки этих формул последние два уравнения (5.3) обращаются в тождества.
При к = 2 из (5.3), (5.4) получаем вторую динамическую систему в рассматриваемой иерархии
а = [а, Ъ],
P-I 2р—lj—1
ъ = ?i S Tn1aTTip-1'1 + ?2 2 2 mW^-W-1"1, (5.5)
i=0 j=0 І=0
которая при ?2 = 0, ?l = — 1 переходит в систему (1.3).
II. Операторы Лакса L и Ak для иерархии интегрируемых динамических систем, связанных с системой (3.1), определяются формулами
ft-i
L = a + mE, Ak = 2 CjE+ $каЬрЕ~к. (5.6)
3=1
Здесь матрицы а, т, симеют следующие ненулевые элементы:
fli,i+i = fflii тПі,і+\-р — —1, (C})i,i+Vj- (5.7)
122 Уравнение Лакса L == [L, Aft] при этом сводится к системе уравнений
a = [m, сі], [a, Cj] + [то, cJ+i] = 0,
[a, cft-i]+ К ^] = 0. (5'8)
Решения последних двух уравнений (5.8) имеют вид
ftp—і
cft_x = ?ft+ ?ft 2 ^mahp-1-5,
3=0
(ft—Dp—1 ^
cA_a=?fcVft~2)p + ?ft-i ^ a?ma(h-1)p~^ + (5.9)
3=0
fcp-1J-I
+ Pk 2 2 а'таНр-1~3та^г-\
J=X і=о
При А = 2 и А = 3 формулы (5.8), (5.9) определяют вторую и третью динамические системы в иерархии, порожденной системой (3.1), которой соответствует A = 1.
III. Рассмотрим динамическую систему (5.8) в простейшем случае A = 2, р = 2. В силу формул (5.9), (5.7) получаем
Ci = ?ia2 + ?a(ma3 + ата2+ а2та + агт), (5.10)
(с])г,г + 2 = ?laiai + l —
— ?2 (ai-iei^i+i + о-іо-г+і + агаї+і + аіаі+1аі+2).
Первое уравнение (5.8) a = [m, c\] в силу формул (5.7) сводится к динамической системе
ai = (с і) і,г+2 — (с і) г-1 -{+1,
которая после подстановки формул (5.10) принимает следующий вид:
ai = a;(?i (ai+i —йі-і) —
— ?2(?<+i («І + «»+і + й,+2) — Яі_і (йі + (Zi-I + Яі_г))). (5.11)
Эта система включает в себя при §2 = 0 систему Вольтерра или дискретное уравнение КдФ, определена в пространстве произвольной размерности и имеет те -же первые интегралы, что и (система Вольтерра, так как операторы L для этих систем совпадают.
123 Наследуем континуальный предел системы (5.11). Пусть ak(t) = 1 - s2u(t, xh), u(t, х) — некоторая гладкая функция и хк = кв. После подстановки этих выражений уравнения (5.11) в точке (t, хк) принимают вид
щ = 2е (P1 - 6?2) их + 2є3 (I - 2?2) (иххх - 6иих) + + 2є5 [1 (?, - 3??2) uZ —(I - 4?2) uuxxx +
+ 4? 2 Uyllxx 6?2u2tixJ + о (e6). (5.12)
При ?i Ф 12fb стандартные преобразования (см. § 1, 3) приводят уравнение (5.12) в пределе є 0 ж уравнению Кортевега — .де Фриза ut = Quux — Uxxx. Пусть ?i = 12?2; сделаем последовательно ізамену координат ti = t, Xi = = x+12$2St, замену времени % = —2ргє5іі и затем пе-рейщеад /к пределу є0. Тогда уравнение (5.12) перейдет в уравнение
