Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Богоявленский О.И. -> "Опрокидывающиеся солитоны" -> 39

Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны — М.: Наука, 1991. — 320 c.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка): oprokidivauesoliton1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 97 >> Следующая


Х+С X

= exp j U (t, I) dl - exp j U (t, l) dl. (1.6)

X X-C

Динамическая система (3.2) после замены (1.4) принимает вид (1.5) с заменой нижнего предела суммирования на к = 0. Поэтому в пределе є -*¦ 0 система (3.2), (1.5) также переходит в уравнение (1.6).

9* 131 Динамическая система (6.20) гл. V после замены времени dtIdti = є принимает вид

da ( т—1 r m~i \

V = Siby П ai+3 + kr — є У П ai-3-hr ¦ (1-7)

dtI \ -Tift=O JT1S=O J

Предположим, что число т фиксировано, г= с/г и существует такая гладкая функция a(t, х), что ah(t) = = a(t, xh), Xh= кг. Тогда уравнение (1.7) принимает вид

дап,хл тт ,

—= a (t, Xi) ( 2і6 11 а (*> хг + /е + кс)

с/е m—1 \

— 2 є П О Xi — je — кс) . (1.8)

3=1 ft=о J

Система (1.8) после перехода к пределу при є -»- 0 преобразуется в интегро-дифференциальное уравнение

/Х + С

' т—1

п

k=o

/г» <»—і

^-Hifl = а(*,*)( J +

х т—1 .

- ) Е>(М-щ^ - (1-9)

Уравнение (1.9) при т, = 1 очевидно переходит в уравнение (1.3).

III. Исследуем взаимные связи уравнений (1.3), (1.6) и (1.9). Проинтегрируем уравнение (1.6) в пределах от X — с до а: и обозначим

X

v(t,x)= j u{t,l)dl- (1.10)

х—с

Получим уравнение

ЗС + С X

= j exp v (t, l)dl- J exp v (t, D dg, (1.11)

X X—с

которое после замены

я

a (t, х) = exp V (t, х), a(t,x) = ex р j и (t, ?) dg (1.12)

X-C

принимает вид (1.3)Л 132 Уравнение (1.9) после подстановки



преобразуется в уравнение

д2ф _ еч>(і,х+с)-ф(і,х) _eq>(t,x)-<p(t,x~c) (1-14)

dt дх

Уравнение (1.11) после дифференцирования по х принимает вид

d2v = ev(t,x+c) _ 2ev(t'x) -)- e0^'*-^ (1.15)

dt дх

и получается из уравнения (1.14) с помощью замены (1.10)

v(t, x) = <p(t, х) — ср (t, х — с).

Уравнение (1.14) по своей структуре напоминает двумеризованную цепочку Тода

A>fc_ <Pft.+1(<,x)-<Pfea,x) Vk(t,x)-4>k_J^tlX) dtdx~e _ е ' ^-10''

которая является системой счетного числа уравнений на функции срк, —оо < к < +оо. Уравнения (1.16) на инвариантном подмногообразии, определенном счетным числом условий

<Pft(f, z) = <p(t, X+ кс), (1.17)

совпадают с уравнением (1.14). Одпако все известные решения двумеризованной цепочки Тода (1.16) не принадлежат инвариантному подмногообразию (1.17) и поэтому ничего не дают для исследования уравнения (1,14).

Уравнение (1.14) на инвариантном подмногообразии q(t, X +с) = —<р(?, х) сводится к гиперболическому уравнению Синус Гордона

(г, а?) = 2 sh (— 2ф ®)>. (1.18)

Покажем, что уравнение (1.9) с помощью отображения

m—i

Ъ (t, х) = JJ a (t, X + кс) ft=о

133 преобразуется в уравнение вида (1.3). Действительно, из уравнения (1.9) в точках х, х + с, ..., х + (т— 1)с следует уравнение

/т—1 *+<»+1)с

\ S=O x+hc m-1

-2 j b(t,l-(m-i)c)dl

Ь=0 ж+(й-І)с

Это уравнение после сложения интегралов принимает вид

, ж+тс

дЪ (t,

= &(*,*) J b(f,l)d%- J 6(^,6)?),

at

совпадающий с (1.3) после замены тс на с.

Таким образом, интегро-дифференциальные уравнения (1.6), (1.9) и уравнение (1.14) вкладываются в более общее интегро-дифференцальное уравнение (1.3). Поэтому в дальнейшем мы будем изучать именно это уравнение.

§ 2. Основные свойства интегро-дифференциального уравнения (1.3)

I. Уравнение (1.3) является континуальным пределом при р ->- оо всего семейства динамических систем (1.3) из гл. У. Важнейшие свойства этих динамических систем сохраняются также и у уравнения (1.3).

Теорема 1. Интегро-дифференциалъное уравнение (1.3) обладает следующими свойствами: 1) является га-милътоновым; 2) допускает эквивалентное представление Лакса; 3) имеет счетный набор первых интегралов In, которые определяются явными формулами.

Доказательство. 1) Уравнение (1.3) представляется также в виде

Vt

(t, х)= j ф (I — х) exp V (t, I) dl,

<p(iO'=l, О <у<с; ф(г/) = 0, у>с, <р(—у)= — у(у).

(2.1)

134 В силу представления (2.1) имеем

и \ т в* Vt {t, ?)= I -gjp

со oo

я = J expp(«,SdS, (I(Z))(X)= j Ф (1-х)! (I) dl. (2.2)

—OO -OO

Оператор I трансляционно инвариантен и в силу нечетности функции ф(х) является кососимметрическим:

oo oo

j I (f)(x)g(x)dx = - j I (g)(x)f(x)dx.

— oo —oo

Поэтому представление (2.2) определяет гамильтоиов вид уравнения (2.1).

2) Пусть Pc — оператор сдвига графика функции ф (а;) на с: (Рсф) (х) = фі(ж + с), djdx — оператор дифференцирования. Очевидно справедливы равенства

1фРс,я1>Р0] = (фРс(г1>)-1|;Рь(ф))Рс+ь, Pc] - 0. (2.3)

Рассмотрим уравнение Лакса

я+с

§ =[L, A], L = J +a(t, х) Р_С) А = - [ a(t, 1Щ-Pc,

(2.4)

где LnA — линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси R1 (— оо <; х <; + оо). Используя равенства (2.3), нетрудно проверить, что уравнение (2.4) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).

Уравнение Лакса (2.4) можно представить также в алгебре Ли интегральных операторов на прямой Int(R17Ji), ядра которых являются обобщенными функциями. Пусть обобщенные функции L (t, х, у) и A(t, х, у) имеют вид

L (t, х, у) = a (t, х)Ь(х — с — у) + Ь'(х — у),
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed