Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Х+С X
= exp j U (t, I) dl - exp j U (t, l) dl. (1.6)
X X-C
Динамическая система (3.2) после замены (1.4) принимает вид (1.5) с заменой нижнего предела суммирования на к = 0. Поэтому в пределе є -*¦ 0 система (3.2), (1.5) также переходит в уравнение (1.6).
9* 131Динамическая система (6.20) гл. V после замены времени dtIdti = є принимает вид
da ( т—1 r m~i \
V = Siby П ai+3 + kr — є У П ai-3-hr ¦ (1-7)
dtI \ -Tift=O JT1S=O J
Предположим, что число т фиксировано, г= с/г и существует такая гладкая функция a(t, х), что ah(t) = = a(t, xh), Xh= кг. Тогда уравнение (1.7) принимает вид
дап,хл тт ,
—= a (t, Xi) ( 2і6 11 а (*> хг + /е + кс)
с/е m—1 \
— 2 є П О Xi — je — кс) . (1.8)
3=1 ft=о J
Система (1.8) после перехода к пределу при є -»- 0 преобразуется в интегро-дифференциальное уравнение
/Х + С
' т—1
п
k=o
/г» <»—і
^-Hifl = а(*,*)( J +
х т—1 .
- ) Е>(М-щ^ - (1-9)
Уравнение (1.9) при т, = 1 очевидно переходит в уравнение (1.3).
III. Исследуем взаимные связи уравнений (1.3), (1.6) и (1.9). Проинтегрируем уравнение (1.6) в пределах от X — с до а: и обозначим
X
v(t,x)= j u{t,l)dl- (1.10)
х—с
Получим уравнение
ЗС + С X
= j exp v (t, l)dl- J exp v (t, D dg, (1.11)
X X—с
которое после замены
я
a (t, х) = exp V (t, х), a(t,x) = ex р j и (t, ?) dg (1.12)
X-C
принимает вид (1.3)Л 132Уравнение (1.9) после подстановки
преобразуется в уравнение
д2ф _ еч>(і,х+с)-ф(і,х) _eq>(t,x)-<p(t,x~c) (1-14)
dt дх
Уравнение (1.11) после дифференцирования по х принимает вид
d2v = ev(t,x+c) _ 2ev(t'x) -)- e0^'*-^ (1.15)
dt дх
и получается из уравнения (1.14) с помощью замены (1.10)
v(t, x) = <p(t, х) — ср (t, х — с).
Уравнение (1.14) по своей структуре напоминает двумеризованную цепочку Тода
A>fc_ <Pft.+1(<,x)-<Pfea,x) Vk(t,x)-4>k_J^tlX) dtdx~e _ е ' ^-10''
которая является системой счетного числа уравнений на функции срк, —оо < к < +оо. Уравнения (1.16) на инвариантном подмногообразии, определенном счетным числом условий
<Pft(f, z) = <p(t, X+ кс), (1.17)
совпадают с уравнением (1.14). Одпако все известные решения двумеризованной цепочки Тода (1.16) не принадлежат инвариантному подмногообразию (1.17) и поэтому ничего не дают для исследования уравнения (1,14).
Уравнение (1.14) на инвариантном подмногообразии q(t, X +с) = —<р(?, х) сводится к гиперболическому уравнению Синус Гордона
(г, а?) = 2 sh (— 2ф ®)>. (1.18)
Покажем, что уравнение (1.9) с помощью отображения
m—i
Ъ (t, х) = JJ a (t, X + кс) ft=о
133преобразуется в уравнение вида (1.3). Действительно, из уравнения (1.9) в точках х, х + с, ..., х + (т— 1)с следует уравнение
/т—1 *+<»+1)с
\ S=O x+hc m-1
-2 j b(t,l-(m-i)c)dl
Ь=0 ж+(й-І)с
Это уравнение после сложения интегралов принимает вид
, ж+тс
дЪ (t,
= &(*,*) J b(f,l)d%- J 6(^,6)?),
at
совпадающий с (1.3) после замены тс на с.
Таким образом, интегро-дифференциальные уравнения (1.6), (1.9) и уравнение (1.14) вкладываются в более общее интегро-дифференцальное уравнение (1.3). Поэтому в дальнейшем мы будем изучать именно это уравнение.
§ 2. Основные свойства интегро-дифференциального уравнения (1.3)
I. Уравнение (1.3) является континуальным пределом при р ->- оо всего семейства динамических систем (1.3) из гл. У. Важнейшие свойства этих динамических систем сохраняются также и у уравнения (1.3).
Теорема 1. Интегро-дифференциалъное уравнение (1.3) обладает следующими свойствами: 1) является га-милътоновым; 2) допускает эквивалентное представление Лакса; 3) имеет счетный набор первых интегралов In, которые определяются явными формулами.
Доказательство. 1) Уравнение (1.3) представляется также в виде
Vt
(t, х)= j ф (I — х) exp V (t, I) dl,
<p(iO'=l, О <у<с; ф(г/) = 0, у>с, <р(—у)= — у(у).
(2.1)
134В силу представления (2.1) имеем
и \ т в* Vt {t, ?)= I -gjp
со oo
я = J expp(«,SdS, (I(Z))(X)= j Ф (1-х)! (I) dl. (2.2)
—OO -OO
Оператор I трансляционно инвариантен и в силу нечетности функции ф(х) является кососимметрическим:
oo oo
j I (f)(x)g(x)dx = - j I (g)(x)f(x)dx.
— oo —oo
Поэтому представление (2.2) определяет гамильтоиов вид уравнения (2.1).
2) Пусть Pc — оператор сдвига графика функции ф (а;) на с: (Рсф) (х) = фі(ж + с), djdx — оператор дифференцирования. Очевидно справедливы равенства
1фРс,я1>Р0] = (фРс(г1>)-1|;Рь(ф))Рс+ь, Pc] - 0. (2.3)
Рассмотрим уравнение Лакса
я+с
§ =[L, A], L = J +a(t, х) Р_С) А = - [ a(t, 1Щ-Pc,
(2.4)
где LnA — линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси R1 (— оо <; х <; + оо). Используя равенства (2.3), нетрудно проверить, что уравнение (2.4) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
Уравнение Лакса (2.4) можно представить также в алгебре Ли интегральных операторов на прямой Int(R17Ji), ядра которых являются обобщенными функциями. Пусть обобщенные функции L (t, х, у) и A(t, х, у) имеют вид
L (t, х, у) = a (t, х)Ь(х — с — у) + Ь'(х — у),