Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
п т
L1 = + 2 ak (t, х) P_ftc, A1 = — 2 h (t, х) Pic. h=l i=0
Система уравнений (3.5) может быть представлена также в виде одного интегро-дифференциального уравнения. Действительно, второе уравнение (3.5) после замены
Ъ (t, х) = к exp ? (t, х), a (t, х) = да ^f' x^ принимает вид
ж+с ж—с
?(f,®)~ J о (і, g) dg- J a(t,l)dl.
x x—2С
Первое уравнение (3.5) после указанных подстановок переходит в интегро-дифференциальное уравнение
(Ж+С Ж \
Г 5а «, I) d Г flq(t, I) j J di sJ
ж ж—с /
(ж+20 ж \
j a(t,l)d%- J а (і, Sdg -
ж+с ж—о /
(ж+с ж—с \
J a(f,0dg- j a(«,6)d6].
ж к—2с /
III. Выведем явные формулы для первых интегралов уравнений (1.6) и (1.14). Уравнение (1.6) является
143 континуальным пределом при е 0, р — 1 = [с/е] ->• °° уравнения
ди ({, х)
Jt =
= ехр ^ 2 с" (*» х + ^e) j — ехр ^ 2 eu'(i, X — кг) j. (3.9)
Уравнение (3.9) эквивалентно уравнению Лакса вида
L2 = [L2, A2], L2 = єР(і-Р)Е + ехр(єіг(і, х))Ре,
/р-1 N (3.10)
A2 = — ехр 12 eu(t, X + ke)J РрЕ.
Поэтому в силу леммы 1 § 2 уравнение (3.9) имеет счетное множество первых интегралов
In = Tr (Lr) = Tr (еР(1_р)е + ехр (ги (t, х)) РЕ)пр.
Вычисляя эту величину согласно определению (2.11), получаем формулу
/ п hm—1 \
Zn=Jfc 2 є"ехрє 2 2 u(t,x + (m—1)(1-p)B + je) ,
—оо Vftl"--'A« m=1 /
(3.11)
где суммирование осуществляется по всем наборам из ге неотрицательных целых чисел Ai, ..., кп, удовлетворяющих условию ki + ... + кп = п(р — 1). Выражения (3.11) в пределе при є -»- 0, р — 1 = [с/г] °° переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.6):
OO х+пс Х+(П — 1)с
In- j dx J dx1 j" dx2 ...
— оо X Xj-C
x+2c Ж+С
... j* dxn—i J Z it, x, X1, ..., X7^) dxn, (3.12)
Xn_2—C Xn_y—c
Iх і
Z (t, x, X1, ..., xn) — ехр I Jii (t, I1) dh +
V X
X2 X \
+ j u{t,l2)d\2+ ... + j u(t, ?„+1)dg„+1l.
X^-C Xn—C /
144 Простейший из этих интегралов h имеет вид
(X) Х+С / xI
I1= I dx \ dx1 ехр ( j и (t, IJdl1
— оо X XDC1-C
OO / гс+с \
= с j dxexpl j и (t, IJdl1 J.
—OO \ ж J
Уравнение (1.14) следует из уравнения (1.6) после подстановки и (t, х) = дср (t, х)/дх. При этом подынтегральная функция в (3.12) принимает вид
п п
Z = ехр 2 (ф (*> Xh) — ф (t, Xk — с)) = U a (t, xk), S=1 k=l
где использована связь (1.12). Поэтому формулы (3.12), определяющие первые интегралы уравнений (1.6), (1.14), после преобразования (1.12) переходят в формулы (2.17) первых интегралов интегро-дифференциаль-ного уравнения (1.3).
10 о. И. Богоявленский ГЛАВА VII
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ В АЛГЕБРАХ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ И В НЕПРЕРЫВНЫХ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ
В данной главе изучаются конструкции дифференциальных уравнений в алгебрах гладких и непрерывных функций на многообразиях и в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах. Построенные дифференциальные уравнения связаны с автоморфизмами ассоциативных алгебр и допускают эквивалентное представление Лакса (зависящее от спектрального параметра) в пространстве линейных операторов, действующих на рассматриваемой ассоциативной алгебре. Полученные дифференциальные уравнения обладают счетными наборами первых интегралов. Найденные алгебраические конструкции для коммутативных алгебр функций на дискретном множестве точек и на прямой приводят к динамическим системам и интегро-дифференциальным уравнениям, изучавшимся в гл. V, VI. Применения этих конструкций в некоммутативных алгебрах матричнозначных функций приводят, в частности, к новым интегрируемым случаям уравнений Эйлера в прямых суммах произвольного числа алгебр Ли gl (п, R) и so (п, К).
§ 1. Первые интегралы дифференциальных уравнений, связанных с автоморфизмами ассоциативных алгебр
I. Пусть St — произвольная непрерывная (вещественная или комплексная) ассоциативная алгебра, Н: Sl-+--»- St — произвольный ее автоморфизм:
H (Aia + к2Ь) = AiH (a)+ Zc2H (6),
H (аЬ) = H (а) H (6), { '
где a, Ъ е St; A1, A2 е R или С- В дальнейшем рассматриваются следующие примеры:
1) St = gl (п, R) — алгебра матриц H(a) =QaQ-1 — внутренний автоморфизм.
146 2) % = SF (M) — алгебра гладких или непрерывных функций на произвольном многообразии M, H — оператор сдвига: H(а(х)) = a(h(x)), где х^М, h: M ->- M — некоторое обратимое отображение (возможно, сохраняющее меру).
3) Й = Sr (М, gl (п, IR)) — алгебра матричнозначных функций на многообразии M (гладких или непрерывных). Наиболее общие автоморфизмы H имеют вид
H(а) (х)= Q(x)a(h(x))Qr1(x)t где Q (х) — обратимая матрица, зависящая от точки
X є М.
4) St = [R [я] или SI = С [it] — групповая алгебра некоторой группы я, ее элементы — функции на группе a(s)i Sє л. Автоморфизмы H определены формулой H (®) (S)= а (h(g))» гДе h'- я я — произвольный автоморфизм группы п.
В дальнейшем предполагается, что на алгебре 91 определена линейная функция t: 3t-»-iR или t: 9t-»-C> обладающая следующими свойствами:
t(ab) = t(ba), t(R(a)) = t(a), (1.2)
где H — произвольный автоморфизм из некоторой фиксированной допустимой группы автоморфизмов Г. Если 91 = gl (п, С), H (a) = QaQ-1, то функция t(a) является следом Tr(а) матрицы а. Если 91 = STn(M) — алгебра матричнозначных функций на М, то группа Г автоморфизмов определяется преобразованиями h: M ->- M, сохраняющими меру ц,: Н(а) (ж) = Q (/г(;г) )a(/i(;r)) Q-1 (/i(;r)). При этом функция t (а) определяется формулой
