Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
jp—lm—i р—1 т—1 \
а% = «г 2 П ai+qj-kr — 2 П Aj-gj + fcr • (6-18) Vi=O h=0 5=0 ft=o J
Уравнения (6.18), очевидно, представляются в виде
At = CLi(Fiaw) -F (а,-.,)), (6.19)
где — (p — l)q^K(p—i)q И F — функция многих переменных, указанная в (6.18).
При q = 1, rrn = р — 1 ряд слагаемых в уравнениях (6.16), (6.18) сокращается, и эти уравнения принимают вид
/ г т—1 г т—1 \
«І = аг 2 П Яі+i + fer - 2 П ai-]-kr ¦ (6.20)
Vi = I й=0 j—1 h~o J
Динамические системы (6.20) при r = p — 1, т = 1 и
''=1, т = р — 1 переходят в системы уравнений
/р—1 р-1 \
«і = йі 2 di + k— 2 di-k , (6.21) \й=1 k=l J
P-I р—1 \
П «І+& — П «г-ft ,
AJL -t-rn. -ft (6.22)
A = 1 ft=l /
совпадающие с динамическими системами (1.3) и (3.1).
127 Наиболее важной является динамическая система (6.21); все системы (6.18) с помощью отображения щ =
= Ц Cii^hr преобразуются в систему
Ji=O
гр-і р—1 \
S «і+їі-S (6-23)
fit; = OLi
L ¦ . і у j мм <• ^J і '
Vj=О 3=0 /
очевидно, эквивалентную системе (6.21). Система (6.18) после подстановки
ak(t) = 1 — e2u(t, xh), xh = ke, (6.24)
принимает в силу формул (6.13) вид (в точке (t, Xh)) й = (1 — г2и) (Cieux + C2SzUxxx + о (є4)) (6.25)
C некоторыми ПОСТОЯННЫМИ Cl и с2. Применим к уравнению (6.25) преобразования t' = t, x' = x + c\et и т = = e3xt', Xi= ах', где X = —C2O3, о — (cJ6c2)1/2. После этих преобразований и перехода к пределу є ->- 0 уравнение (6.25) преобразуется в уравнение Кортевега— де Фриза:
du п ди д3и
^ = Щ—Ц- (6-26)
Тем самым доказана следующая
Теорема 3. Динамические системы (6.18), зависящие от четырех целочисленных параметров г, т/г, р, q, связанных соотношением (6.13), допускают представление Лакса (6.9)-, (6.8), зависящее от спектрального параметра Е, и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега — де Фриза. Специальными . случаями систем (6.18) являются динамические системы (6.20), (6.21) и (6.22).
IV. При (выполнении условий (6.14) матрица с (6.12) имеет следующие ненулевые элементы:
Р/2—1 р—1 р-2—3 3—1
Ci,i-r-q = CC JJ Я,-ftr + ? 2 П Яг-ftr J[ aj_g+5r. (6.27)
a=0 }= 0 h=0 s=o
Первое уравнение (6.12) определяет динамическую систему
(Р/2—1 Р/ 2—1 \
JI Oi + kr - Ц di—kr I +
ft=l ft=l / P-I /P-2—j 3=1 P—2—3 3 — 1
+ 2 п ai+q~hr JJ Ui + sr П II ai
3=1 \ h=o 5=1 h=0 a=i
(6.28)
128 Здесь сокращены два совпадающих слагаемых, соответствующих / = 0.
Динамическая система (6.28) имеет вид (6.19). Поэтому аналогично доказанному выше система (6.28) после подстановки (6.25) и перехода к пределу є 0 преобразуется в уравнение КдФ (6.26). Тем самым доказана следующая
Теорема 4. Динамические системы (6.28), зависящие от трех целочисленных параметров г, р, q, удовлетворяющих соотношению (6.14), допускают представление Лакса (6.10), (6.8) и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега — де Фриза.
9 О. И. Богоявленский ГЛАВА VI
ИНТЕГРИРУЕМОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
В данной главе исследуется интегро-дифференциаль-ное уравнение, являющееся континуальным пределом семейства интегрируемых динамических систем, построенных в гл. V. Показано, что это уравнение допускает эквивалентное представление Лакса и обладает счетным набором первых интегралов, представимых в явном аналитическом виде. Построенное интегро-дифференциальное уравнение имеет применения в физике плазмы — в теории кинетических уравнений, описывающих перенос энергии ленгмюровских колебаний по спектру.
§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение как континуальный предел семейства динамических систем
I. В гл. V показано, что каждая динамическая система вида (1.3J, (3.1), (3.2), (6.20) в континуальном пределе при фиксированном р переходит в уравнение Кортевега — де Фриза. В данном параграфе мы рассмотрим континуальный предел всего семейства динамических систем (1.3) и семейств (3.4), (3.2), (6.20) при р-*°о.
Динамическая система (1.3) (гл. V) после замены времени dt/dti — є принимает вид
Предположим, что р — 1 = с/є и существует такая гладкая функция a(t, х), что ak(t)=a(t, xh), Xh = ке. Тогда система (1.1 J принимает вид
(1.1)
ft=i
(1-2)
130 Система (1.2)" в пределе при є О переходит в интегро-дифферендиальное уравнение
/ я+с
да (U dt.
,Х+С X V
iJ^l= a(t,x)i J a(t, l) dl- J a(t,l)dA (1.3)
X X-C '
Уравнение (1.3) можно представить в виде
ЩЛ. = a (t, х) ^ J T (.X, х') а (х') dx' j,
где ядро Т(х, х') антисимметрично и определяется формулами
Т(х, х') = Т(х'-х), T (Q= -T(-1), Ta) = d, 0 T (Q= 0, ?>с.
Поэтому уравнение (1.3) согласно [43] является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергий ленгмюровских колебаний в плазме по спектру в х-про-странстве.
II. Динамическая система (3.1) (гл. V) после замены координат и замены времени
а/, = ехремй, Ml = G (1-4)
принимает вид
du, /V \ to \ щ = exp I 2i eui+hJ — exp I 2i m-k I • (1.5)
Предположим, что p — 1 = c/e и существует такая гладкая функция u(t, х), что u(t, xh) = uk(t), Xh = ке. Тогда система (1.5) в пределе при е -»- 0 переходит в интегро-дифференциальное уравнение
