Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
fx+с
A(t,x,y) = -\ J a(t, l) dl \Ь(х-у)-Ь(х + с-у).
(2.5)
По определению обобщенных функций б (х — у) и
135 б'(х — у) имеем [48]
oo oo
J S (z — х) j (z) dz = f (ж), j б' (z-x)f(z)dz =-f {х). — 00 —00
(2.6)
В силу этих равенств нетрудно проверить, что уравнение Лакса
oo
dL {t,d*' v) = J (L(t,x,z)A(t,z,y)-A(t,x,z)L(t,z,y))dz
(2.7)
эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
3) Для вывода формул первых интегралов уравнения (1.3) определим следующие линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси IR1:
р-1
L1 = га (t, х) Р(х_р)е + Pe, Ai = — б 2 «(*> х + Щ — Рре<
л=о
(2.8)
где р — целое число. Уравнение Лакса Li=|bi, Ai] в силу равенств (2.3) эквивалентно уравнению
(р-1 р-1 \
У. га (t, х + кг)-Уга (t, х - кг) . (2.9)
ft=i ft=i J
Уравнение (2.9) в пределе при є ->- 0, р — 1 = [с/є] оо переходит в интегро-дифференциальное уравнение (1.3). Поэтому первые интегралы уравнения (2.9) в пределе переходят в первые интегралы уравнения (1.3). Лемма 1. Уравнение Jlanca вида
п т
L = [L, A], L= 2 ФІМРСі, А = 2 х) Pbj (2.10)
і=1 І=1
имеет первый интеграл
OO
/ = Tr(L)= j q>A(t, x)dx, (2.11)
где индекс к определен условием ch = 0.
Доказательство. Уравнение Лакса (2.10) после приравнивания коэффициентов при различных сдвигах
136 Pcft в операторах L и [L, А] в силу формул (2.3) переходит в систему уравнений
dJi^lfL = 2 (фі (t, х) l|>j (t, X + Ci)- % (t, х) фг (t, X + Ь})),
(2.12)
где суммирование осуществляется по всем индексам i, /, удовлетворяющим условию Ci+ bj = Ch. Если Ch = О, то уравнение (2.12) принимает вид d(fh (t, х) «-і
—jt— = 2d (cPi ^ ж +— cPi х —
(2.13)
Из уравнения (2.13) следует, что при ck = О
OO
— со
Лемма 1 доказана.
Из уравнения Лакса (2.8) следуют уравнения (bf) = = [Lx\ A1], поэтому уравнение (2.9) имеет счетное множество первых интегралов вида Tr(L1I). Ненулевые интегралы возникают только если в разложение оператора Lj входит оператор нулевого сдвига Po, т. е. если существуют такие целые числа к и I, к +1 = N, что ft (1 — Р) + I = O- Отсюда находим N = к + 1 = кр. Поэтому счетное множество ненулевых первых интегралов In уравнения (2.9) определяется формулами
In = Tr (LJp) = Tr (га (t, х) P(1_p)e + РЕ)ПР. (2.14) Согласно определению (2.11) для вычисления интеграла In необходимо вычислить коэффициент при операторе Po в разложении L"p. Оператор Po возникает в L"p от умножения в произвольном порядке п раз оператора 8a(t, ж)Р(і_Р)е и п(р — 1) раз оператора Pe. При п = 1 интеграл 11 имеет вид
^ р-1
Ii = 2 ш х + Щ dx
-OO A=O '
и в пределе при є ->- 0, р —1 = [с/е] переходит в интеграл
оо ЗС+С OO
I1= j" dx j a (t, X^ dX1 = с J" a(t,x)dx. (2.15)
— OO оо —OO
137 При произвольном п первый интеграл 7„ определяется формулой
In=JdxI 2 е" + )'
Jf00 —-,kn т=1 \ i=l / /
(2.16)
где суммирование осуществляется по всем наборам из п целых неотрицательных чисел Ai, удовлетворяющих условию Ai +... + An = п(р — 1). Формулы (2.16) в пределе при Є -»- О, P — 1 = [с/е] OO переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.3)
OO х+пс х+(п—1)с In= I dx J dxL j dx3 ..,
—оо X X^—с
ac+2c ic+c , n \
... j" dxn^-L J (JJ a(t,xm)Jdxn. (2.17)
Простейший из этих интегралов 1\ определен формулой (2.15) и связан с гамильтонианом H (2.2) соотношением Ii = сН. Теорема 1 доказана.
Все интегралы (2.17) сходятся, если функция Ia(t, х) I при \х\ -*¦ оо убывает как Ы_(1+8), є>0.
II. Рассмотрим задачу рассеяния для оператора L (2.4). Пусть ф (A, t, х) — собственная функция, удовлетворяющая уравнению
(A, t, х) + a (t, х) ф (A, t, X — с) = Аф (A, t, х). (2.18)
Уравнение (2.18) является линейным уравнением со сдвигом аргумента. В простейшем случае a>(t, х) = <х = = const пространство комплекснозначных решений уравнения (2.18) является бесконечномерным и порождается решениями вида ф(А, t, х) = exp XiX, где показатель Xi удовлетворяет уравнению
Х + аехр(—Хс) = к. (2.19)
Уравнение (2.19) при любом А имеет счетное множество комплексных решений Xi.
¦Пусть функция a(t, х) при Ul -»-<» имеет асимптотику a(t, х)-+а. Обозначим ф,(А, t, х) и %(A, t, х) решения уравнения (2.18), имеющие асимптотики
фг(А, t, х) = ЄХр(ЯіХ), Х->-оо;
Ipj (к, t, х); = exp (XjX) , X-*-+<*>, * • '
138 где Xi, %} — корни уравнения (2.19J. Предйоложим, что функции q>i{k, t, X) и %(/<•, t, х) образуют два базиса в линейном пространстве решений уравнения (2.28). В этом случае справедливы равенства
Ф, (ft, t, х) = 2 By (ft, t) % (к, t, х), (2.21)
з
где By (к, і) —матрица рассеяния.
Собственная функция ф,(ft, t, х) в силу уравнения Лакса (2.4) удовлетворяет уравнению
(L — ?)(фі + Аф{) = 0, ф{ + Афі = 2 сі№- (2-22)
з
В силу асимптотики (2.20), формул (2.4) и того, что a(t, х)-+а при \х\ оо, получаем асимптотические равенства
ф( + Афі = — (ас + ехр Xi с) exp XiX,
из которых следуют, ввиду линейной независимости функций фл точные равенства
