Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
^ (і + н^ИтН-^А))^
( 0 г (т (а) — тН-1 (а)
Р = [ і (а - H"1^)) 0
157 b = і (H"1 (a) т (а) - хН"1 (a) a) (J J) - /, (2.42)
. /1 О \ / О — тН (а) — тН"*1 (а)
t7mH0 -1J' с = \Н (а) + п-1(а) О
Уравне&ие Лакса (2.7) с операторами LhA вида
L = I^-1H-1 +р + №, А^Ъ + сХП + ХШ2 (2.43)
эквивалентно системе уравнений
V =¦ vtt~l (Ь) - ьу, ^=^6-6/7 + ун"1 (с) - сн (v), H (?) - Ь + рс - сН (р) + гЩ-1 (/) - /H2 (v) — 0, (2.44) Н(с) — с + pJ — /H2 (р) = O1 Н(/)-/ = 0.
Дополнительно предположим, что H(I)=I, H(t)=*i, тогда H (J) = J. Непосредственно проверяется, что при условиях (2.42) три последних алгебраических уравнения (2.44) выполнены тождественно. Два дифференциальных уравнения (2.44) при условиях (2.42) являются следствием уравнения (2.39). Поэтому уравнение (2.39) допускает представление Лакса с операторами (2.43).
Указанные выше операторы LhA относятся к классу операторов (1.4), поэтому существование счетного множества первых интегралов In = T(Ln) для уравнений (2.37)--(2,39) следует из леммы 1 § 1. Теорема 3 доказана.
VII. Укажем некоторые следствия из теоремы 3. Пусть Щ. — комплексная алгебра и т — комплексное сопряжение. Пусть
а = 1 + (а + і Y4? — а2) где т (^1) = ах. Тогда уравнение (2.37) принимает вид
A1 = (1 + Cta1 + ?a?) (Н(ал) - H-1^1)). (2.45)
После аналогичной подстановки уравнения (2.38) принимают вид
= (1 + Otai + paj) (H"1 (? - ^1), (2>46) bx = (1 + 06? + ?b}) (a, - H (aj).
Уравнения (2.38) инвариантны относительно преобразования дуальности о:
а(а) = а1 = Я~1(Ь), C2 = H"1. (2.47)
Если Ш — алгебра функций на дискретном множестве Z, то уравнение (2.46) в случае автоморфизма — сдвига
158 (Н (а)) A = а*+1 — переходит в уравнение автодуальной сети [53].
Если множество Z разбито на два дискретных набора точек ak и bh и (т{а))к = Ък, (Н(а))к = aA+i, (H(^))ft = = bh+1, то уравнение (2.37) переходит в систему двух уравнений
ak = ahbh(ak+1 — ак~і), bk — ahbh(bh+1 — b^i).
Если множество Z состоит из 2п точек и (т(а))ь = ak+n, то уравнение (2.37) принимает вид
^A = - ak-1) ¦
Уравнение (2.39) является аналогом дискретного нелинейного уравнения Шрёдингера [54] в произвольной комплексной коммутативной алгебре Si. Если St — алгебра гладких функций на произвольном многообразии Ж, a: Jl Ji — сохраняющей меру [Л диффеоморфизм и (Н(а)) (х) = а(а(х)), х^Ж, то уравнение (2.39) имеет вид
—і да ^ х) — a(t, а (х)) + a (t, а'1 (х)) - 2a (t, х) +
+ lap, х) I2 (a (t, ct (х)) + a (t, а"1 (ж))) (2.48)
и обладает счетным множеством первых интегралов.
YII. Утверждение 1. Дифференциальное уравнение
(аа'У = C1H"1 (а) аГ1 — аН. (а~г) Ii (C1), C1 = 0, (2.49)
определенное на множестве обратимых элементов произвольной ассоциативной алгебры St, допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Операторы L(t, X) и A(t, Я) определим формулами
L = MH(a-1)H + X"IciH-I + aa-1, A = MH(^1)H. (2.50) Оператор L при Ci = const имеет вид
L = Х(аЯ {аГ1) - аЯ (-а~г) H (a) H (a-1)) H + (aa-1)'.
(2.51)
Коммутатор операторов L и А определяется формулой [L, А] = Я(аН(а-1) — aH (a-1) H (a) H (а-1) )Н +
+ C1H"1 (а)а~1 - аН (a"1) H (C1). (2.52)
159 Подстановка формул (2.51), (2.52) в уравнение Лакса (2.8) приводит к уравнению (2.49). В силу леммы 1 § 1 уравнение (2.49) обладает счетным набором первых интегралов
Ih = T (XaH(AT1)H + X-3C1H-1 + аа-])\ (2.53)
Утверждение 1 доказано.
Если алгебра St является алгеброй матричнозначных функций на множестве целых чисел и H (а) (/с) = — а(к + 1), то уравнение (2.49) совпадает с «некоммутативной цепочкой Тода» [55]. В случае коммутативной алгебры скалярных функций уравнение (2.49) с помощью подстановки a(t, x) = expq(t, х) преобразуется в уравнение цепочки Тода (2.31).
В случае алгебры матриц и внутреннего ав-
томорфизма Н: H(^)=QaQ"1 уравнение (2.49) принимает вид
(асГ1)' = [с, aQoT1], с = C1Q-1. (2.54)
Первыми интегралами уравнения (2.54) являются собственные числа соответствующего оператора L (2.50).
§ 3. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в алгебрах функций
I. В данном параграфе рассматриваются ассоциативные алгебры функций следующих двух классов. К первому классу относятся алгебры гладких (или непрерывных) функций ^r (Ж, (R) на произвольном многообразии Ж (с поточечными операциями сложения и умножения функций). Ко второму классу относятся алгебры гладких или непрерывных функций f(x, у) на произведении Ж X Ж, где на многообразии Ж задана гладкая мера Сложение функций является поточечным,
а умножение определяется формулой
/ 0 g (х, У) = j / (х, z) g (z, у) d]x (z). (3.1)
JC
Каждой функции f(x, у) поставим в соответствие интегральный оператор F, действующий на функциях ф(я) из ^ (Ж, К):
(F9)W= J /(*, у) ф (у) dp (у). (3.2)
jk.
160 Произведению функций / ° g соответствует произведение интегральных операторов F • G. Поэтому ассоциативные алгебры второго класса будут обозначаться Int (Ж, К). Если множество Ж = Zn состоит из п точек, то алгебра Int (Zn, К) совпадает с алгеброй матриц gl (/г, [R).
