Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
а„ф(&, t)n+\ =Ь|>(й, t)n,
а при р имеет вид (3.22). Следовательно, все компоненты \р(к, t)n определяются из уравнения Li|; = /сг|; по компоненте г|>(к, t) і, т. е. пространство собственных функций (/<¦', t) одномерно. Нормируем собственную функцию t) условием
(A. t) + (п Яг (*)) Ур + 1 (к, t) = 0. (3.31)
В силу уравнения (3.26) справедливо равенство
г|>(&, t)+A$(k, t) = c(t)^(k, t). (3.32)
Вычисляя первую компонету уравнения (3.32), убеждаемся, что при условии нормировки (3.31) функция c(t) = ^ 0, поэтому справедливо уравнение
ф(А, г)+ 0 = 0. (3.33)
При условии финитности решений системы (3.1) (я?1 1 при га-> OO) функция Ip (&, г) имеет следующее
асимптотическое разложение при гао
р
1>(М)«= 2 #j(M)z", (3.34)
І—1
ще Z3 -корни уравнения (3.24). Подставляя это разложение в уравнение (3.33) и переходя к пределу получаем уравнение
S (Bj (к, t) Z™ + Bj (к, t) z"+p) = 0. j=i
117 Отсюда находим уравнения для изменения данных рассеяния
Bj (к, t) = zjBj (к, і), Bj (к, t) = Bj (к, 0) ехр (— zvjt).
Таким образом, в двух рассмотренных случаях эволюция данных рассеяния, связанных с динамической системой (3.1), полностью интегрируется.
VI. Укажем аналог динамической системы (3.1) в случае комплексных величин а,. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
(A + ME)' = [A + ME, ApE-1]. (3.36)
Здесь А и M — блочные матрицы, ненулевые элементы которых имеют ВИД Aij+i=Oi, М^+1-р = ТП{, где Oi И Tni являются двумерными блоками, которые определяются формулами
, wit = — (і о)' р =2s;
ті=-(о l)- P = 2s+ 1. (3.37)
Уравнение (3.36) сводится к матричному уравнению А = = [М, А?], эквивалентному динамической системе
/р-1 р-1 \ _
щ = Ui I П (ui+k) — П ^ft (ui-k) К т (и) = U. (3.38) Vft=I h=l /
Следовательно, динамическая система (3.38) при любом целом р 5? 2 допускает представление Лакса ,(3.36) со спектральным параметром E и поэтому имеет набор первых интегралов Ih = Tr(А + Mi?) \ Указанная конструкция (3.36)-(3.37) при отрицательных р приводит к уравнениям вида (3.38) с множителем и? вместо Ui, являющимся аналогами динамических систем (3.2).
§ 4. Интегрируемые редукции динамических систем (3.1)
Построения данного параграфа во многом,аналогичны построениям § 2 и в случае р = 2 (модель Вольтерра) переходят в построение работы [30]. Рассмотрим динамическую систему (3.1) в конечномерном непериодиче-
?i = -
О «,
118 ском случае, т. е. при ао = ап = 0. В представлении Лакса L = [L, А] (3.3) матрицы L и А размера п Xn имеют следующие ненулевые элементы:
Lf,_j,+i = я*, 1-р = 1, (4 1)
Ah,h+P ~ Xh = ?ft+l . . . dk+p-l-
Из представления Лакса (3.3) следует, что собственные числа Xi, ..., Xn матрицы L являются первыми интегралами динамической системы (3.1). Пусть ф1, ..., г|)п — соответствующие им собственные функции, Єї, ..., е„ —
п
векторы с координатами (Ci)j = 6«. Пусть ez = 2 a^ •
ft=і
В дальнейшем, как и в § 2, существенно используется резольвента R(A) = (A-L)-1 оператора L; очевидно, справедливы равенства
= r^-2*?/ (4-2)
и дифференциальное уравнение
R(X);= [R(X), А]. (4.3)
Определим функцию
п
/ (X) = (R (X) еа, ех) = 2 Y=X' Pft = «ft (lA Єї). (4.4) /і=і h
Матрица L (4.1) имеет ненулевые элементы в тех же клетках, что и матрица L из § 2. Поэтому в рассматриваемом случае также справедливы лемма 1 § 2 и все равенства (2.4). Следовательно, матрица L (4.1) вместе с любым собственным числом X имеет р собственных чисел zhX, к =.1, 2,..., р, где Z = ехр(2лі/р), zp = l. Так же как и в § 2, из равенства /(X)=z/(zX) следует, что величины ph и pj совпадают, если соответствующие собственные числа Хк, Xj связаны соотношением Xh = ZmXj. Переменные pA удовлетворяют связи pi + ... + p„ = l, которая следует из асимптотики резольвенты R(X) = X-1 id при X ->- оо. Поэтому число независимых коэффициентов Pft, как и число собственных чисел Xj, не превосходит [пір].
Продифференцируем функцию /(X) (4.4) по времени; в силу уравнения (4.3) имеем
/(X) = (R(X)eb е,) = ( (RA- ARJe1, е,) =
= (RAeb ei)-(Rei, A'ei). (4.5)
119 Из формул (4.1) следует Aei = O, A'ei = x\Gv+\, поэтому
п
/<Х>--(Re1, A4) = - 2 Sr^ft' (4'6)
Обозначим = (ipfe, Єі). В силу определения Ьф'1 = Л/Л|:'' имеем систему уравнений
= ^ftTpJ, . . M ap-i^p = Ял'фр-і,
— -фї + aptyp+1 =
из которой следует соотношение
12 ¦¦¦ P
После подстановки этого выражения в формулу (4.6) и сокращения на х\ = а\а2 ¦. • я?, получаем
A=I
У [K-aIa2 ¦¦¦ aP-i)pft
Zd X - Kh
ft=i в
• (4.7)
Дифференцируя разложение (4.4) функции /(/.), находим
ft=i ?
Из равенств (4.7), (4.8) следует система дифференциальных уравнений
Pft = {К — ЯіЯ2 • • • aP-1) Pft- (4-9)
Покажем, что справедливо равенство
п
Ct1CL2 . . . Яр-! = 2 Pj- (4-Ю)
j=l
Действительно, в силу определений имеем
(R (К) Vev еО = ( R (К) Lp 2 еЛ = 2 ^?? (Щ) \ j=i / j=i 3
Асимптотика резольвенты при К оо имеет вид R(X) = = X"1 id. Для оператора L (4.1) справедлива формула
