Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
ф,- + Афі = — (ас + ехр Я;с)'ф;. (2.23)
Подставляя в уравнения (2.23) выражения (2.21), получаем
2 (Bjji|)j — Bij (ас + ехр Xjc) %) = — (ас + ехр Xic) 2 BijiJjj-.
} з
Отсюда находим уравнения, определяющие эволюцию данных рассеяния:
By(ft, f) = By (ft, t) (expV — ехрА.с). (2.24)
Поэтому в рассматриваемом случае динамика данных рассеяния полностью интегрируется:
By (ft, і) = B у (ft, 0)ехр(?(ехр xjc — ехр Xic)),
By(ft, t)Bj{(k, t) = ?y(ft, 0)Bji(ft, 0), (2.25) Bii(к, t) = Bii(ft, 0).
Проведенные построения допускают очевидное обобщение на случай двух различных асимптотик a (t, х) -*¦ а± при
X -*¦ ±оо.
III. Покажем, что бесконечная система дифференциальных уравнений
5гф.(г, х)
Qt дх =ехр (ф{+1 (t, X+ с) — фі (t, х)) —
— ехр (фі (t, х) — ф{_! (t, X — с)) (2.26)
139вкладывается в систему, допускающую представление Лакса. Система (2.26) после подстановки
Vi (t, ж) = <рі+і {t, X+ с) — <pi (f, х) (2.27)
принимает вид
оV (t, х)
dtdx = ехр ViJrl (t, X + с) — 2 ехр Vi («, х) +
+ ехр Vi^1 (t, X — с). (2.28)
Эта система эквивалентна системе уравнений (a{(t, х) = = ехр Vi (t, х)) да. (г, ж)
——— = а і (і, ж) (? (і, х) — (і, ж — с)),
»,(?..) (2"29) ——— = ai+1 (t, X + с) — Cii (t, х).
Система (2.29) эквивалентна уравнению Лакса L = = [L, А], где операторы L и А действуют в пространстве вектор-функций ySpi(t, х): (г, х)
(Lijj)i (f, х) = —Тх— + A1 (г, х) -фі—X (t, X — с), (Aty)i (t, х) = — Ъг (г, х) % (t, х) — г|3і+1 (t, X + с).
Система уравнений (2.26) включает в себя в виде частного случая при с = О двумеризованную цепочку To-да (1.16). На инвариантном подмногообразии ф,-(?, х) = = q>i(t, х) система (2.26) совпадает с уравнением (1.14).
§ 3. Иерархия высших уравнений
I. Интегро-дифференциальные уравнения, «высшие» по отношению к уравнению (1.3), допускают представление Лакса
5F = [L' Ап]'
П
L = ± + a(t,x)P-e, An=- 2М*.«)Р*с (3.1)
h=o
Уравнение (3.1) в силу формул (2.3) эквивалентно системе уравнений, которые возникают из разложения оператора [L, А„] в сумму по операторам PaC, s = п, п —
140-1, ..., о, -1:
(bn)x(t, ®)'=0,
(bt)x(t, x) = a{t, x+{k + i)c)bh+i{t, x) —
— a{t, x)bk+1(t, x — c), a2{t, x) = a{t, x)(b0(t, x)—b0(t, x — c)). (3.2)
Из уравнений (1.20) последовательно при к = п — 1, ... ..., 0 находим коэффициенты bh(t, х) как функции от a(t, х) и окончательно из последнего уравнения (3.2) находим искомое «высшее уравнение», отвечающее произвольному натуральному числу п. При п = 2 имеем
х+2с
Ь2 (і, х) = ?2 = const, Ъг (t, х) = ?2 j a (t, I) dg + ?x,
X
х+с J+c х+с
b0(t,x) = p2 J a(«, ?)d? j a(t, g)d? + ?! J «(«,?)<?.
Поэтому второе интегро-дифференциальное уравнение определяется формулами
at (t, х) = a (t, ж)
і'ж+с
?j J a{t,l)dl- J a{t,l)dl +
\ X x—c 1
fx+с ?+c X t+c \ "J
+ ?2 |f a(t, 0 dl J a (t, Qdg- J a (і, ?K J «(*. 0 dS •
\ JC ?-С ж—с S—c / J"
(3.3)
При ?i=4, ?2 = 0 из (3.3) получаем уравнение (1.3).
Уравнение (3.3) может быть представлено также в виде, аналогичном (2.1):
+ ?2 exp V (t, I) j exp V (t, I) dl j dgs
Vt (t, x)= J <p {t — x) I ?x exp V (t, ?) + — OO V
¦T
S-e
где expy(f, a:) = a(?, x).
Уравнение (3.3) и все «высшие» уравнения (3.1) являются континуальными пределами уравнений, «высших» по отношению к уравнению (2.9), для которых оператор L остается неизменным (см. (2.8)), а операторы An
141определяются формулами
71—1
An = — є S h (t, х) Pftp8 — Pnpe. ь=о
Поэтому все «высшие» интегро-дифференциальные уравнения (3.1) имеют тот же набор первых интегралов, что и уравнение (1.3), определенный явными формулами (2.17).
II. Рассмотрим уравнение Лакса вида ~ = [L, A], L = ^ + a (t, х) Р_с + Ъ (t, х) Р_2с,
(3.4)
A = - ) a(t,l)dl-Pc.
X
Здесь в отличие от (3.1) оператор А тот же, что и в (2.4), а оператор L изменен. Уравнение (3.4) в силу формул (2.3) эквивалентно следующей системе уравнений
(Х+С X \
J a(t,l)dl- J a(«,E)dgj +
JC X—с '
+ b(t, X + с) — b(t, х),
а' с ос—с \
a (t, J a(t,l)dl . (3.5)
~ X—2с '
Уравнения (3.6), очевидно, обобщают уравнение (1.3), соответствующее b(t, х) = 0. Уравнения (3.5) являются континуальным пределом при є О, р — 1 = — [с/е] -»- OO системы уравнений
8а 3^ = a (t, х) J 2 ш (*» х + ^8) ~ 2 ш х — ^8) I + \ft=i ft«= і J
+ b(t, X + рв) — Ъ (t, г), __ _ _ (3-6)
dt ......... .........
ft/—±
Vft=O
P-I \
ea(t, x — (p + к) в) . fe=o J
142Уравнения (3.6)" эквивалентны уравнению Лакса
Li = [Li, Ai], .
Li = Pe + ea(t, ж) Р(і_р)г + eb{t, х)Р(1 -2р)г> р-1
A1 = — є 2 а (*» х + — Ppe-
Ji=O
Поэтому уравнения (3.6) в силу леммы 1 § 2 имеют счетное множество ненулевых первых интегралов
/„ = Tr(L7ip). (3.8)
Интегралы In в пределе при є -*¦ 0, р — 1 = [с/е].-»- °° определяют счетное множество первых интегралов уравнений (3.5). Аналогичные результаты справедливы для всех уравнений, допускающих представление Лакса с операторами Li, Ai вида