Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Из результатов гл. III следует, что уравнение (2.1) при ?>0 имеет точное быстроубывающее при \х\ -»- °° решение — опрокидывающийся солитон
V = X(2/$) U2/ch(Xx — ф), (2.2)
где функции X (?, z) и ф(?, z) удовлетворяют уравнениям
Xt = —С&2X2Xz, фі = —0Ь2>Ар2.
При ?<0 уравнение (2.1) имеет два типа опрокидывающихся решений, определенных формулами
V1 = X (2/1 ? I )1'2/cos (Xx — ф), А ( = — (XsA2Az, ф, = — a2X2q>z,
(2.3)
V2 = X (2/| ? I )1/2/sh (Xx - ф), Xt = Oi2I2Xz, ф4 = а2Х2фг.
(2.4)
Решения (2.3), (2.4) являются сингулярными и имеют движущиеся полюса первого порядка.
II. Уравнение (1.7) для комплекснозначных функций V, не зависящих от переменной z, переходит в уравнение (ai = l)
Vt = ivxy + Ifivdx11 V Iу. (2.5)
Имеется два неэквивалентных уравнения (2.5), отвечающих значениям параметра ? > 0 и ? < 0 (масштабные преобразования сохраняют знак параметра ?). При ? = = —2 для уравнения (2.5) в работе [35] было указано представление Лакса (однако само уравнение не исследовалось) . При этом оператор L имел вид
т. е. в отличие от оператора L (1.2) не являлся эрмитовым. Представление Лакса (1.1) — (1-4) при а\ = 1, а2 =
96 = О приводит к уравнению (2.5) с произвольным значением параметра ? = 2/ (Р1Р2) .
Уравнение (2.5) после деления на iv и дифференцирования по X принимает вид
После подстановки в уравнение (2.6) v=aex\)ib (где функции a(t, х, у) и b(t, х, у) вещественны) и разделения на вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений
(-+ (т},+ -T-T- b^l - - ? W (т- + ^+ + (2-8)
Пусть функции а ж b имеют вид
a(t, х, y) = Xi(t, y)a(Q, b = m%,
S = XiU, V)x-vi(t, y), (2-9)
где X\(t, у) И <pi(f, у) — не известные пока функции переменных t, у, т — произвольная постоянная. Подстановка выражений (2.9) в уравнение (2.8) приводит к уравнениям для функций Xi (t, у), фі(?, у):
Xu + 2mXiXiy = 0, фі( + 2тХіфі, = 0. (2.10)
Подстановка выражений (2.9) в уравнение (2.7) при учете соотношений (2.10) приводит к двум уравнениям
а" = — ?a3 + са, (2.11)
a'2 = -A?aa + l(3c+m2)<z2, (2.12)
где с — произвольная постоянная. Уравнение (2.11) является лагранжевым и имеет интеграл энергии
a'2 + ^ ?al-ca2 = 2Е. (2.13)
Уравнения (2.12) и (2.ІІЗ) совместны, если с = —те2 и E = 0 и в этом случае сводятся к одному уравнению
a'2 + -J ?a4 + т2а2 = 0. (2.14)
Ненулевые решения этого уравнения существуют только при ? < 0 и имеют вид
®(?) = m(2/[?l) l/2/cos(т% - ?0). (2.15)'
7 О. И. Богоявленский 97 Этому решению соответствует опрокидывающийся соли-TOH уравнения (2.5), который после обозначения K = = mXі, <jp = тфі определяется формулами
v{t, х, у) = K (а/ІРІ^'^РС^-Ф)) , (2.16)
v ' ' cos (Xx — ф) v
Kt + 2KKy = 0, ф t + 2К<ру = 0.
Солитон (2.16) является периодической функцией ПО x с периодом T(t, y) = 2n/K(t, у), имеющей движущиеся полюсы первого порядка с координатами
*п (и у) = (ф (t, у) + (п + -J j Itj jk (t, у).
Во всех параметрах солитона (2.16) происходит явление опрокидывания, поскольку функция К(t, у) удовлетворяет уравнению волны Римана.
Замечание. Если в формулах (2.9) b = b(t,)— неизвестная функция, то после подстановки (2.9) в уравнения (2.7), (2.8) с необходимостью следует, что функция &(?) является линейной. Поэтому опрокидывающийся солитон вида (2.16) для уравнения (2.5) является единственным в классе (2.9) и существует только при ?<0.
§ 3. Двумерное матричное уравнение, допускающее представление Лакса
I. Рассмотрим уравнение Лакса (1.1), где матричные операторы LhA имеют вид
L= ipdx + u(t, х, у), (3.1)
A = —(0VL + Ldy)+w(t, х, у). (3.2)
Здесь р — постоянная диагональная матрица с компонентами Pkj = Pkbkj, Pk^bPi', u{t, х, у) и w(t, х, у)—неизвестные матрицы размера п Хп, ду — некоторый дифференциальный оператор. Справедливы равенства
[L, — dyL — LdJ=(L2)3, = i(puy + UvP) дх + Tpuxy + (и2)у,
(з.зу
[L, w] = i(pw — wp)dx+ ipwx + [и, w\.
Уравнение (1.1) после подстановки выражений (3.1) — (3.3) принимает вид
Ut = і(рщ + иур + pw — wp)dx + ipuxy +
+ ipwx + (и2)у + [и, w\. (3.4)
98 Из уравнения (3.4) следует, что коэффициент при операторе дх равен нулю. Отсюда получаем соотношения
wV = — !? ("ftj)i/. к ф j, Pu (Ukk)y = 0. (3.5) ' k Pj
Далее полагаем, в соответствии со второй группой уравнений (3.5), что величины Uhh= qh постоянны и вещественны. Уравнение (3.4) после подстановки формул (3.5) переходит в систему уравнений
п
("fth)t = о = ipk(Wkk)x+ 21 ((UksUsk)y + UhsWsk-WksUsk), (3.6)
s=i
п
(uhj)t = iPk((Uhj)y + whj)x+ 2 ((UksU$j)y + UksWsj — WhsUsj).
s-1
(3.7)
Из уравнения (3.6) после подстановки формул (3.5) находим
п
Wkk =f2idx1 Ул —-г— (UkmUmh)y- (3.8)
Pk - Pm
Формулы (3.5) и (3.8) полностью определяют матрицу w{t, х, у) через матрицу u(t, х, у).
Уравнение (3.7) после подстановки выражений (3.5) принимает вид
. 2php. 2 ((IiPh — (I4Pj)
--1 D __„ (ukj)xy + Ukj (Wjj — Wkk) н---(и kj)y—
pk pj pk l'j
n
~ 2 2d I n-3~Т Ukm (иЫ))у + П-(ukm)yUmj ¦ (3.9)
