Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Bij (к, t) = Bij (к, 0) ехр ((4 - z\) t). (1.26) Очевидно, справедливы соотношения Bii (к, O = B1, (А, 0), Вtl(k, OB»{к, O = B«(/с, 0)В„(А, 0).
Решение системы уравнений (1.3) по методу обратной задачи рассеяния состоит из трех этапов:
ап (0) By (к, 0) Д By (к, t) ™ ап (t). (1.28)
Этап I состоит в нахождении начальных данных рассеяния по известной начальной матрице L(0}, т. е. сводит-
106ся к решению задачи на собственные значения для бесконечной матрицы L. Этап II заключается в исследовании динамики компонент матрицы рассеяния. Решение этой задачи получено выше и определяется формулами (1.26). Этап III состоит в восстановлении коэффициентов a„(t) по найденным данным рассеяния B0(к, t). Эта задача, видимо, будет исследована в дальнейшем. Заведомо ясно, что полная матрица рассеяния В{}(к, t), зависящая от произвольного комплексного параметра к, содержит избыточную информацию. Если ограничиться вещественными значениями параметра к, то множество корней уравнения (1.20) разбивается на пары комплексно сопряженных корней и меіжду коэффициентами В«(к, t) появляются тождественные соотношения. Лишь при исключительном значении параметра /с = 0 все решения уравнений (1.18) являются ограниченными при п ->-
±оо5 т. е. все корни Zi уравнения (1.20) удовлетворяют условию Iz1I = 1; при ЭТОМ Zi = — 1.
VI. Динамическая система (1.3) допускает еще одно представление Лакса со спектральным параметром, не эквивалентное представлению (1.4). Пусть матрицы L (f, E) и A (t, Е) имеют следующие ненулевые компоненты:
т _ Tr^n-I т _ г/Р—1 — 1
1^i,г + р — ^ аг * -L'i.i-bp—1 — аг >
P-I _ P-I (1.29)
Аг,г + р= EpCli 2 ai—hi ^г,г + р—1 = 1?j 1 2 ft-
k=l k=0
Система (1.3) эквивалентна второму матричному уравнению со спектральным параметром Е, имеющему вид
LL = [L, А], (1.30)
где компоненты матриц L(t, Е) и A (t, Е) определены формулами (1.29). Уравнение (1.30) имеет набор первых интегралов /A = Tr(L(f, Е))к, к = 1, 2, ..., поэтому собственные числа матрицы L-(t, Е) являются первыми интегралами динамической системы (1.3). В случае обратимых матриц L уравнение (1.30) эквивалентно уравнению L = [L, AL-1]. При этом матрица AL-1 имеет весьма сложную структуру: все ее элементы, вообще говоря, являются ненулевыми.
VII. Динамическая система (1.3) допускает представление Лакса (1.4), (1.30) как в случае вещественных, так и в случае комплексных переменных as(t). Укажем
107аналог системы (1.3) в случае комплексных переменных (ii (t), также допускающий представление изоспектраль-ной деформации.
Рассмотрим уравнение Лакса
(A + KE)' = [А + KE, В — KpE], (1.31)
где матрицы А, В, К имеют размер п X п и их ненулевые матричные элементы являются двумерными блоками следующего вида:
/О 1\ (ьі 0 \
Ki.i+i = ^=^ 0J, Ba = Bi=I0
P = 2s + 1: Ам+1_р = А = р т („.)), (1-32)
( 0 ал
P = 2s: А{,г + 1-р = Ai = I т (а^ о J,
где коэффициенты а{, Ьі — комплексные числа и т (а) = = a. Уравнение (1.31) является следствием уравнений
А = [А, В], В = - KP-1-J-AK3', K = O. (1.33)
J=O
Из формул (1.32), (1.33) получаем
Bi = - S1 kf-^Ai+^jk3, ЬІ = - Tfe (яі+fc). (1.34) j=0 h=0
Первое уравнение (1.33) после подстановки формул (1.34) принимает вид динамической системы
/р-1 р-1 \
ах = аЛ 2 ih(ai+k)- 2 iVi-ft) Ь (1-35) Vfe=I fe=i /
Следствие 1. Динамическая система (1.35) допускает представление Лакса (1.31), (1.32) со спектральным параметром и имеет поэтому набор первых интегралов Im = Tr (А + KS)m.
§ 2. Интегрируемые редукции динамических систем (1.3)
Рассмотрим динамическую систему (1.3) в конечномерном непериодическом случае, матрицы а и m имеют вид (1.5) при а\, ..., ap-i=0, aj = 0 при j > п. Пусть Ki, ..., Kn, ¦ • ^n — собственные числа и собственные функции оператора L = a + mE, et, ..., е„ — векторы с
108координатами (е4)} = б,-,-. Пусть ех = S Введем ре-
зольвенту R(X) = (I-L)-1 оператора L. Справедливы равенства
R -1?**' rW ^ = 11? M
Из уравнения Лакса (1.4) следует дифференциальное уравнение
R(Я) = [R(X), A], A = —b — трЕ. (2.2)' Определим функцию
т- ічч«»«,)-І ^1=І -1?- м
a=x ? fe=x
где pft = aA(t|A Єї).
Пусть Q — диагональная матрица с элементами Qkk =» = где Z = ехр(2яі/р), zp = l.
Лемма 1. Матрица L = а + тпЕ, ее характеристический многочлен P(X) = det(L— XI), матрица R(X) и функция /(X) удовлетворяют равенствам
QLQ-1 = Z-1L, P(X)=Z-P(Zl),
QR(X)Q-'= zR(zX), /(X) = zf(zX). { '
Действительно, ненулевые элементы матрицы QLQ-1 имеют вид
(QLQ-')M+i = ZftLftj^iZ-"-1 = Z-1Lm+!, г
(QLQ-1Jm+!-,-= zh Lwl-PZ""+^1 = Z^1Lft, к+1. (2>о)
Поэтому первое равенство (2.4) выполнено в силу Zp = = 1. Отсюда следует
P(X)1= det(L — X • 1)= det^QLQ"1 -X • 1) =
= z-" det(L —Xz • 1),
что доказывает второе равенство (2.4).
Умножим тождество (X-L)R(X)=I на матрицы Q и Q-1 и используем первое равенство (2.4), получим
(X — QLQ-1) QR(X)Q-1 =(zX - L)Z-1QR(X)Q-'= 1.
Следовательно, QR(X)Q-1 = zR(zX). В силу диагонально-сти матрицы Q имеем