Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
9а ^gt ^ = ^8 2 а (І' Х + ^8) ^ а Х) ^
— a(t, ^)^8? a(t, х — (2.27)
где е(р —1) = с. Уравнение (2.27) относится к типу 154 (2.1) и допускает представление Лакса с операторами
р-1
L = га (t, х) P(I-P)8 + Pe, A= — s a(t, х + кг) — Ppet
ь=о
(2.28)
где (Pa?) (t, x)=a(t, X+ а). Поэтому уравнение (2.27) обладает счетным множеством первых интегралов
In = T(ea(tt z)P(i-p)e + Pe)np. (2.29)
Континуальные пределы интегралов (2.29) при р — 1 = = с/г оо определяют первые интегралы уравнения (2.26). Явные формулы для этих интегралов имеют вид
OO ЗС+ПС #+(«.— l)c
In = Tr J dx J a (t, X1) dx1 j* а (?, ^2) dx2 ...
—OO SC —C
OC+ 2c X+C
I a (?, ;rn-i) dxn-Y j* a (t3 xn) dxn. (2.30)
Формулы (2.30) являются обобщением на матричнознач-ные функции a(t, х) формул (2.17) гл. VI.
IV. Рассмотрим конкретный вид уравнения (2.17) в коммутативных алгебрах, например, в алгебре функций {Ж). Первое уравнение (2.17) после подстановки а — = ехр(# — Н(#)) разрешается в виде p = q — kdi(q). Вследствие этого второе уравнение (2.17) принимает вид
q - Ых (q) = ехр (Н~Hq)~ q)_ ~ ехр (q - ЩЯ)). (2.31)
При A = O уравнение (2.31) является обобщением цепочки Тода в произвольной коммутативной алгебре с автоморфизмом Н, которое впервые было указано в работе [49].
Пусть кФ О, Я = (К1), di = d/dx, H (a(f, х)) = —1 a(t, х — кс). Тогда уравнение (2.31) принимает вид
(qu — kqtx) (t, х)= exp(g(?, х + кс) — q(t, х)) —
— ехр (q (t, х) — q (?, х — кс)). Это уравнение после замены координат
X = х/к, t = t + х/к (2.32)
переходит в уравнение
-?? & х) в exP (q(t + с, X + с) — q (Ї, х))~
— ехр (q (t, х) — q(t — C1 X — с)). (2.33) Уравнение (2.33) впервые было указано в работе [50].
155 Это уравнение существенно отличается от уравнения (1.14) гл. VI; оно не эквивалентно интегро-дифференци-альному уравнению (1.3) гл. VI.
Пусть St = ST (R2), di = djdx, H (a (t, х, у))=*
= a(t, X, у —с). Тогда уравнение (2.31) после замены координат (2.32) принимает вид
-Qtx & У) = exP ^ У + с) — Я. & я, у)) —
~ exP (Я & -ж, у) — q (t, х, у — с)). (2.34)
Уравнение (2.34) после замены
q(t, xt y)*=>c-ly(t, х, у), t = —с2?
и перехода к пределу при с -*¦ 0 преобразуется в дифференциальное уравнение
tytx = (бхр фу) у (2.35)
Уравнение (2.34) в случае, когда переменная у пробегает счетное множество точек вида пс, где п — целые числа, совпадает с двумеризованной цепочкой Тода [51].
V. Уравнение (2.18) в алгебре матриц gl (/г, К) при di =» ada, d2 = dd? приводит к уравнению, описывающему известные интегрируемые случаи тг-мерных уравнений Эйлера [52]. Аналогично уравнения (2.19) в алгебре gl (п, 0?) переходят в интегрируемые случаи [26] динамики твердого тела в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом.
Если St является алгеброй матричнозначных (п X п) функций от трех переменных t, х, у с дифференцированиями di = djdx и di — djdy, то из третьего уравнения (2.19) следует существование такой матричной функции S(t, X, у), что a = Sx, Ъ = Sy. При этом первые два уравнения (2.19) принимают вид
Sxts=tISxi Sv]-Cv, Ct= [с, ?„]. (2.36)
Следовательно, уравнения (2.36) и их частный случай при C = O- уравнение Sxt —¦ Sv] — допускают представление Лакса со спектральным параметром.
Замечание. С каждым из построенных в этом параграфе уравнений связана бесконечная иерархия дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса с тем же оператором L, но с более сложным оператором А, являющимся многочленом Лорана от автоморфизма Н.
VI. Пусть алгебра St коммутативна и обладает инво-лютивным автоморфизмом т, коммутирующим с автомор-
156 физмом Н, X2 — id. Укажем алгебраические конструкции уравнений, которые в частных случаях переходят в уравнения нелинейной автодуальной сети и дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера [53, 54].
Теорема 3. Следующие три группы уравнений в непрерывной ассоциативной коммутативной алгебре St допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на %или%® Si:
а = ах (а) (Н (а) - H"1 (а)), (2.37)
а = ат(а) (Я~1(Ь)-Ъ), Ь = Ьх(Ъ) (а — Н(л)), (2.38)
—ia = H (a) + H"1 (а) - 2а + ах (а) (Н (а) 4- H"1 (а)).
(2.39)
Уравнения (2.37) — (2.39) обладают счетным множеством первых интегралов.
В случае (2.39) алгебра 91 является комплексной и т(ia) = —ix(a).
Доказательство. 1) Из уравнения (2.37) следует уравнение
(тН_1(а))' = th-V) h"1 (а) (т (а) — т#~2 (а)). (2.40)
Обозначим Ai=AtH-1 (а); из уравнений (2.37), (2.40) получаем ai=ai(H(ai)—Н_і(аі)). Это уравнение, очевидно, эквивалентно системе Вольтерра и поэтому допускает представление Лакса, например, с операторами (2.10) при р = 2.
2) Введем обозначения
a1=ax(a)H~1(b)x(b), рх = -ax(b) - ЪЯх(а). (2.41) В силу уравнений (2.38) получаем систему уравнений
Al = Al (pi — H"1 (pi) ) , pi — H (Al) — Al.
Эти уравнения допускают представление Лакса (2.7), (2.21) при к = 0.
3) Пусть V, Pt Ь, с, / — матрицы размера 2 X 2 с элементами из комплексной алгебры следующего вида:
