Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
t (a) = j Tr (а (х)) (х). (1.3)
Л
В случае групповой алгебры К [л] функция t (а) имеет вид t(a) = а(1).
Пусть L (t) и A (t) — линейные операторы, действую щие на алгебре §(, заданные формулами
п т
L (0 = 2 Oi (0 Ні, А (0 = 2 h (0 Hi, (1.4) i=l j=l
где <ii(t), bj(i)e9t, Hi, Gj — постоянные автоморфизмы из допустимой группы Г. Предполагается, что разложение операторов ~L(t), A (t), [L (?), А (і)] в прямую сумму (1.4) определено однозначно. Это свойство выполнено,
10» 147 например, если Ш = ST (М, К) — алгебра непрерывных функций на многообразии Ж, а автоморфизмы Hi, G3 являются степенями автоморфизма сдвига Но, который не является периодическим. Определим числовую функцию
T(L)= t(ak), HA = id. (1.5)
Здесь элемент ак определен условием Hft = id — тождественный автоморфизм. Если тождественного автоморфизма нет в разложении (1.4) оператора L, то полагаем T1(L)=O. Покажем, что функция T1(L) обладает следующим свойством:
T(LA)=T(AL), T([L, A] )=0. (1.6)
Действительно, коммутатор операторов L и А (1.4) имеет вид
п,т
LA — AL = 2 (віНі (bj) HiGj - bjGj (ец) GjHi). (1.7)
і J
Согласно определению (1.5) имеем
T (LA - AL) = S (t (ЛіН (bj)) - t (bfij (at))), (1.8) і,і
где индексы і й J определены условиями H4Gj = id. Поэтому используя формулы (1.2), получаем
T (LA - AL) = 2 (* (оіНі (bj) - t (Gj (Hi (bj Oi))) = 0. (1.9)
i.i
Свойством (1.6) обладает также след Tr(L) оператора L. Однако функция T(L), очевидно, не совпадает со следом оператора L даже в простейшем случае, когда алгебра ® конечномерна. Если алгебра & бесконечномерна — например & = Srn (Ж), то след линейных операторов на St не определен. Однако функция T(L) определена формулами (1.5), (1.3) для всех операторов вида (1.4).
Рассмотрим операторное уравнение типа Лакса
L = LA-AL. (1.10)
В силу (1.4), (1.7) уравнение (1.10) эквивалентно некоторой системе дифференциальных и алгебраических уравнений для коэффициентов di(t), b}(t).
Лемма 1. Уравнение (1.10) и эквивалентная ему система уравнений в пространстве коэффициентов aif bs
148 имеют счетное множество первых интегралов In, определенных формулами
In = T(Ln). (1.11)
Доказательство. Из уравнения (1.10) при любом п следуют уравнения
(Ln)' = L"A-ALn. (1.12)
Поэтому в силу формулы (1.6) получаем
/; = r((Ln)') = o,
т. е. функции In являются первыми интегралами уравнения (1.10).
Отметим, что в случае конечномерной алгебры SI уравнение (1.10) имеет еще набор первых интегралов
Zft = Tr(Lft), (1.13)
которые, вообще говоря, не совпадают с первыми интегралами (1.11). Существенно, что в случае бесконечномерной алгебры Sl (при условии однозначности разложения (1.4)) первые интегралы (1.11) корректно определены, а интегралы (1.13)—нет.
§ 2. Алгебраические конструкции некоторых интегрируемых уравнений
I. Теорема 1. Следующие пять дифференциальных уравнений в произвольной непрерывной ассоциативной алгебре St допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на St (здесь Н: St St — произвольный автоморфизм алгебры St, р — произвольное целое число, Р> 2):
A = ( S1Hk(O)) e-e Qs Н_й(а)), (2-1)
а = а(Н(а)Н2(а)...Н»-1(а)) —
-(H'-^H2-'»...^»)^ (2.2) a = аН(a)H2(a)... HP_I(а)а —
— аН1_г (а)Н2"р (a)... H"1 (а)а, (2.3)
a = ba — аК~г(Ь), Ъ = Р2 Hfce (аН-г (a)... H-(m~1)r (а)), (2.4)
ft=о
a = H9 (с) — с,
149 с = ^аН"» ... h=о
... ІГГ(Р"2-Й) (а) Н~9 (H(ft-,)r (a) H(fc-2)r (а)... а). (2.5)
В случаях (2.4) и (2.5) целочисленные параметры г, р ^ 2, q, m связаны соответственно соотношениями
(p-i)q-rm, (2.6)
2q = r(p-2). (2.7)
Доказательство теоремы 1 состоит в явном указании соответствующих представлений Лакса
dL(t,X) =[L{t,X), A(f, А)], (2.8)
где операторы L(t, А) и A(t, X) имеют вид (1.4), А— спектральный параметр. В силу представления (2.8) из леммы 1 следует наличие счетного множества первых интегралов (1.11) у уравнений (2.1)-(2.5).
1) Операторы LhA имеют вид
L = aH!-p + AH, А = —Ъ — Шр.
Используя основные свойства автоморфизмов (1.1), нетрудно проверить равенство
[L, A] = LA - AL =
= (Ъа - aH'"p [b)) H1-* + X {Ъ - H (Ь) + Hp (a) - а) Н.
(2.9)
Коэффициент при операторе H равен нулю, если fe= 21 Hft (а).
U=Q
В этом случае уравнение Лакса (2.6) в силу равенства (2.9) эквивалентно уравнению (2.1). Ненулевые первые интегралы уравнения (2.1) определяются формулами (см. § 1)
Ik = 7,(аН1_3>.+ АН).
2) Операторы LhA имеют вид
L = аН + АН1_Р, A = —А"-'(аН)р = —А~'аН(а)... Hp-'(a)Hp. (2.10)
Очевидно, что операторы аН и А коммутируют,. поэтому из уравнений (2.8), (2.10) следует уравнение (2.2). Его
150 ненулевые первые интегралы определяются по формулам
/А = Г(аН + ЯН1-")4».
3) Операторы LhA имеют вид
L = аЯ1~р + ЯаН, А--Ь-ЦаЯ)р. (2.11)
Из уравнения (2.8), (2.11) следуют два дифференциальных уравнения:
а = Ъа - аЯ (b) + аЯ {a)... Hp"1 (а) Hp(а)—
— аН1_р (a)... H-1 (а)а, (2.12) а = Ьа — аЯ1~р(Ь).
