Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Вектор Ъ определяется из условия совпадения уравнений (2.12) и имеет вид
Ъ = аЯ(а\.. .Hp"1 (а).
При этом уравнения (2.12) принимают вид (2.3). Первые интегралы уравнения (2.3) определяются формулами
Ik = T (аЯ1~р~\-XaU)kp.
Отметим, что в специальном случае, когда алгебра St является коммутативной алгеброй функций на множестве целых чисел, уравнение (2.3) переходит в уравнение (3.2) гл. У. В § 3 гл. V указано другое представление Лакса для этого уравнения.
4) Операторы LhA имеют вид
L=(aH-r)m + ^H9, А = —Ъ — ЯНР5 (2.13)
при условии (2.6). Справедливо равенство [L, А]= — [(аН"г)
... H~(m-1)r (а)) - аЯ~т(а)... Я^т~1)г (а))Ж
Коэффициент при операторе H3 обращается в нуль, если элемент b определен равенством (2.4). В этом случае уравнение Лакса (2.8), (2.13) принимает вид
((аН-'ГУ = - [(аН-'Г, M
и является следствием уравнения
которое эквивалентно первому уравнению (2.4). Ненулевые интегралы уравнения (2.4) определяются формулами
1к = Т((аИ-г)т + Ш9)кр. При q = 1, m = It r — p — 1 уравнение (2.4) совпадает
151 с уравнением (2.1). При q = 1, т = р ¦— 1, г=1 уравнение (2.4) имеет вид
'a = (Hp-1^) ... H-(A)) а -а (И^1 (a) ... H (а)) -
(2.14)
а, p^ Hh (аїГ1 (а) . .. (а))
k= о
Уравнения (2.14) и (2.2) совпадают, если алгебра §1 коммутативна, и различны в случае некоммутативной алгебры й.
5) Операторы L и А имеют вид
L = ХаП~г + Н* A = cE-r~« + К (аЯ~г)р
при условии (2.7). Справедливо равенство
[L, А] = (ПЦс) ~ с)П~г + К[аИ~\ сН"'"«] -
— Л[(аН-г)р, He]. (2.15);
Последний коммутатор имеет вид
H3] =
к= о
Поэтому разность двух коммутаторов в (2.15) обращается в нуль, если элемент с определен равенством (2.5). В этом случае уравнение Лакса (2.8) эквивалентно первому уравнению (2.5). Ненулевые первые интегралы уравнения (2.5) определяются по формулам
Ik = T(UH-r&Kq)hp/2
при условии, что кр!2 — целое число. Теорема 1 доказана.
Все уравнения (2.1) — (2.5) имеют вид a =Ba — аС, где й, В, I. В случае алгебры матриц R) эти
уравнения являются примерами L — А — В троек [27, 28]. Согласно теореме 1 эти уравнения допускают представления Лакса в матрицах L размера п2Хп2 и имеют наряду с первыми интегралами /A, указанными в Лемме 1, еще и первые интегралы Xj — собственные числа матрицы L(t, К). Поэтому число первых интегралов уравнений (2.1) — (2.5) имеет порядок п2, В силу наличия спектрального параметра К в уравнениях Лакса (2.7) уравнения (2.1)-(2.5) интегрируются в тэта-функциях римановых поверхностей, заданных уравнением
R(к, w)= det(L(*, X)— w • 1);= 0.
152 II. Пусть ассоциативная алгебра $ обладает некоторыми дифференцированиями du d2: St St,
d{h\a\ + &2Я2)= k\d(a\) + ^2^(^2),
d(ab) = d(a)b + ad (ft),
причем [di, d2] = 0, [dj, H] = 0. Простейшими примерами дифференцирований являются отображения
dx = adx, d^ (а) = ха — ах, a; f^ St.
Теорема 2. Следующие четыре группы уравнений в непрерывной ассоциативной алгебре St допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на St:
& = Ъа — аЯ~1(Ь), di (ft) = H (а) — а, (2.16)
а = Ы1 (а) 4- /ад — аН (р), р = H"1 (а) - а, (2.17)
a — аЪ — Ъа, di(ft) = d2(a), (2.18)
a = ab — ba — d2(c), c — cb — bc, d\(b) = d2{a).
(2.19)
Доказательство. 1) Определим линейные операторы
L = di + Ar1AEHf А — —ft — ЯН. (2.20) Справедливо равенство
[L, A] = —di (ft) + H (а) - а + Я-1 (6а - flH"1 (ft)) H"1.
Поэтому уравнения (2.16) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.20).
2) Введем линейные операторы
Ь^ВД+АаН + Я-Ш-1+/?, А = ЯаН. (2.21) Справедливо равенство
[L, A]M H-1 (а) - а - X(kd{ (a) + pa ~ аН (р)) Н.
Следовательно, уравнения (2.17) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.21).
3) Рассмотрим линейные операторы
L = a+ Mb A = ft + Ad2. (2.22)
Справедливо равенство
[L, A] = ab~ba + 'k{dx(b)~~d2(a))JrX2[dh d2].
(2.23)
153 При условии коммутативности дифференцирований du d2 уравнения (2.18) в силу (2.23) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.22).
4) Для линейных операторов
L -c + Xa + a,2dlf A= Ъ + U2 (2.24J
справедливо равенство
[L, А] = сЬ — Ьс + X(ab — Ъа — d2(с) ) +
+ X2{di(b)~d2(a)) + )^[dh d2].
Поэтому при условии коммутативности операторов d\, d2 уравнения (2.19) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.24). Теорема 2 доказана.
III. Пусть St = ^r (К1) — алгебра матричнозначных функций a(t, X), операторы Ни d определены формулами
(Нa) (f, х) = a (t, X + с), da (t, х) = да х). (2.25) Из второго уравнения (2.16) в силу (2.25) получаем
х+с
b{t,x)= } a{t,l)dl.
X
Поэтому первое уравнение (2.16) принимает вид
(Х+е \ / эс ,
J а р, g) dl Ja (t, х) -a (t, ?)1 j а (t, ?) dl
X ' ^ X—С '
(2.26)
Таким образом, матричное интегро-дифференциальное уравнение (2.26) допускает представление Лакса (2.7), (2.20), (2.25). В частном случае п — 1 уравнение (2.26) переходит в интегро-дифференциальное уравнение, изучавшееся в гл. VI.
Уравнение (2.26) является континуальным пределом при е ->¦ 0 матричного уравнения
