Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
А = 451-3 (udx + dxu). (9.4)
Справедливо известное равенство
[L, А] = К (и) = Guux — Uxxx. (9.5)
Уравнение Лакса (9.1) в силу формул (9.2)-(9.5) имеет вид
— щді — dlut + 2ищ + Vt = L [L, A] + [L, A] L + [v, А] = =-К(и) dl- дІК (и) + 2 иК (и) - 6 (vxdl + dlvs) +
+ Guvx + 2vxxx. (9.6)
Это операторное уравнение эквивалентно следующим двум дифференциальным уравнениям:
Ut = K(U)+ Gvx,
Iuut + vt = 2иК(и)+ Guvx + Ivxccx.
Исключая из второго уравнения (9.7) в силу первого уравнения производную Ut и подставляя выражение (9.5), приходим к системе эволюционных уравнений
Ut = 6иих — Uxxx + Gvx, Vt = -Guvx + Zvxxx. (9.8)
В силу проведенного построения система (9.8) эквивалентна уравнению Лакса (9.1) с оператором Li четвертого порядка (9.2) и оператором А третьего порядка (9.4). Следовательно, система (9.8) интегрируема методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором Li. Теория прямой и обратной задач рассеяния для общих самосопряженных операторов L четвертого порядка развита в работах [84—85].
Из первого уравнения (9.8) находим
бг; = 3"? — 3 и2 + ихх.
Подставляя это выражение во второе уравнение (9.8) и дифференцируя по х, получаем интегрируемое дифферен-
85 циальяое уравнение второго порядка по t: Utt =(3U2 — Uxx)х, + 2 (ut — 6UUx+ и^ха —
— 6 (и (ut — Quux +Uxxx)) х- (9-9)
Уравнение (9.9) может быть представлено также в виде Ui = Quux- Uxxx + w, W1 = —Q(uw)x + 2wxxx. (9.10)
Решения уравнения КдФ определяют инвариантное подмногообразие W = 0 уравнений (9.9) — (9.10).
Система уравнений (8.20), допускающая представление Лакса с эрмитовым оператором четвертого порядка LL (8.19), после переобозначений / = и, h = v принимает вид
Ut = 6 иих — Uxxx + G(v2)x, Vt = -Quvx + Ivxxx. (9.11)
Системы (9.8), (9.11) при всем своем очевидном сходстве являются двумя различными интегрируемыми расширениями уравнения КдФ, которое выделяется условием V (t, х) = const.
II. Уравнение КдФ и уравнение МКдФ связаны, как известно, двумя преобразованиями Миуры, обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора Шрёдингера L (9.3). Покажем, что в полной аналогии с этими свойствами существует некоторая система двух уравнений, модифицированная по отношению к системе (9.8), также связанная с ней двумя нелинейными преобразованиями, обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора четвертого порядка Li (9.2).
Оператор Li разложим на множители двумя способами:
L1 = Li2L2, L1 = L2L2, (9.12)
где операторы L2, E2 имеют вид
L2 = — д% + Ъдх + дхЪ + a, L2 = — дх + Ъдх + дхЬ + а
(9.13)
с неизвестными функциями a(t, х), b(t, х), a(t, х), b(t, х). В силу первого разложения (9.12) получаем
L1 = Lt2L2 = д% - (а + 2 (Ъ2 + Ьх)) д% - д2х (а + 2 (Ь2 + Ъх)) +
+ а2- 2ахЬ + Ibbxx + 3b2x + Ъххх. (9.14)
Отсюда находим связь функций и, v и а, Ь: и = a + 2(b2 + bx), V = а2 — 2 axb +2bbxx + 3bzx + bxxx—u2.
(9.15) В силу второго разложения на множители (9.12) получаем
L1 - LjLa = д* - (а + 2 (fes -?) dl-dl(a + 2 (Ь2 - bx)) + + а2 + 2axb + 2bbxx + 3? - bxxx. (9.16)
Отсмда следуют формулы
и «= а + 2 (b2 — bx), V = а2 + 2а*6+ 26 + ЗЬ2— Ъххх—и2.
(9.17)
Дифференциальные уравнения на переменные а (і, я), Ь(і, ж) мы выведем из операторного уравнения
L2 - L2Ai + BiL2 (9.18)
и после этого покажем, что из (9.18) при двух преобразованиях, определенных формулами (9.12), следует уравнение Лакса (9.1). Операторы Ai и Bi (9.18) являются кососимметрическими и определены формулами
A1 =» Ad\ — U1Ox — dxuv — B1 = Adl — и2дх — дхиг (9.19)
с неизвестными функциями щ (?, х), u2(t, х). Уравнение (9.18) после подстановки формул (9.13), (9.19) сводится к следующим дифференциальным уравнениям для функций a, b, ui, U2:
Ui-U2=-12b*, (5ui - U2).- І2(ах + Abbx +Sbxx), (9.20) &і + btи == Uim — Aaxxx — Abxms — Zbuixx —
— (a + bK) (ui»— U2k)+ 2(?+ Ьш)и2, (9.21) bt — 2 Uixx — 6a» — IObxxx — a (ui — u2) —
- b(3ui* — U2x) - bx{ui - 3u2). (9.22)
Уравнения (9.20) разрешаются относительно функций ui (t, х) и U2 [t, х):
Ui = 3(а + 2(Ь2 + Ь«)), U2 = 3(а + 2(Ь2 — Ь*)). (9.23)
Уравнения (9.21), (9.22) после подстановки формул (9.23) переходят в систему двух эволюционных уравнений1
at = Gaax — Arajs + 12 ахЪ2 + 12 Ъ*Ът,
bt - Zbxat - т2Ьх - 6{аЪ)х. (9-24)
Система уравнений (9.24) в силу проведенного вывода эквивалентна операторному уравнению (9.18). Поэто-
87 му согласно утверждению 1 из § 3 система (9.24) допускает эквивалентное представление Лакса с матричными операторами
L3=IL31A3], L,-(° ), A3=^1 ). (9.25)
Из уравнения (9.18) следуют также два уравнения Лакса (Li2L2) = [Li2L2, A1], (L2Li)' = [L2Li2, - B1]. (9.26)
Оператор L2L2 в силу формул (9.14), (9.15) совпадает с оператором Li. Оператор Ai (9.19) в силу формулы (9.23) для функции ui(t, х) и формулы (9.15) для функции u(t, х) совпадает с оператором А (9.4). Поэтому первое уравнение (9.26) эквивалентно уравнению Лакса (9.1), из которого следует система (9.8). Ввиду этого из системы уравнений (9.24) при преобразовании (9.15) следует система (9.8).
