Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично оператор L2L2 в силу формул (9.16), (9.17) совпадает с оператором Li. Оператор —Bi (9.19) в силу формулы (9.23) для функции иг(?, х) и формулы (9.17) для функции u(t, х) совпадает с оператором А (9.4). Поэтому второе уравнение (9.26) эквивалентно уравнению Лакса (9.1), из которого следует система (9.8). Ввиду этого из системы уравнений (9.24) при преобразовании (9.17) также следует система (9.8).
Два преобразования Ti (9.15) и Тг (9.17) получаются друг из друга заменой а ->- й, b -»- —Ъ, которая соответствует инвариантности системы (9.24) относительно изменения знака переменной Ъ (такая же инвариантность имеется и у модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза). Преобразование T2T^1 или T1T^1 является преобразованием Беклунда для системы (9.24).
Уравнения (9.24) при b(t, х)=*- 0 сводятся к уравнению Кортевега — де Фриза и поэтому также являются его интегрируемым расширением. По-видимому, системы уравнений (9.8) и (9.24) обладают счетными множествами локальных законов сохранения.
III. Укажем операторное представление вида (9.18) для уравнений модифицированной цепочки Тода [49]
ak = ak(bl— bl+1), bh = bk(al-1 —al). (9.27)
Пусть L, А, B — бесконечные или периодические (modulo п) матрицы, имеющие только следующие ненулевые
88элементы:
Lt,.-+1 = аи L4ii = bi, (9.28)
Af,1+1 = -Am-Ii1 = Xi, BiiMi = -B1+Iil = у и
Тогда уравнение (9.18) эквивалентно следующей системе уравнений:
аА+1 = —уійі+і, bi+iXi = —yibi, (9.29)
ai = ЬІХІ + УІЬІ+І, 6І = —йіХ І — yi-Ia1-I. (9.30)
Решение алгебраических уравнений (9.29) определяется формулами
Xi-=^atbi, уг = —1ча{Ьг+1. (9.31)
В дальнейшем произвольную постоянную у полагаем равной 1. Дифференциальные уравнения (9.30) после подстановки формул (9.31) принимают вид динамической системы (9.27). Таким образом система (9.27) допускает эквивалентное операторное представление (9.18) с ко-сосимметрическими матрицами А и В. Поэтому в силу утверждения 1 из § 3 система (9.27) допускает также эквивалентное представление Лакса (9.25). Следствиями системы (9.27) являются два уравнения Лакса (9.26).
Симметрические матрицы LiL и LL' в силу формул (9.28) имеют следующие ненулевые элементы:
(L L)u = а?_х + bi, (LtL)^i+! =(L L)i+lij= афі, ^^ (LL )u = af + b\, (LL )i,t+i = (LL )і+і,і =
Определим два отображения переменных a,, bj в переменные pi, ск:
Pi = af_i + bi, Ci = афь (9.33)
Pi = a? + bf, а = афі+1. (9.34)
Уравнения (9.26) в силу формул (9.28), (9.31)-(9.34) совпадают с уравнениями цепочки Тода
Pi = 2 (4-і — cf), a = Ci (pi — pi+1). (9.35)
Следовательно, формулы (9.33), (9.34) определяют два отображения модифицированной цепочки Тода (9.27) в классическую цепочку Тода (9.35). Уравнения (9.27) после подстановки
Oi = exp (g4 - qi+1), bi = exp (pj2) (9.36)
89преобразуются в гамильтонову систему уравнений
Pi = 2 (ехр 2 — Qi) — ехр 2 (Qi — qi+1)), ?, — ехр л,
(9.37)
имеющую гамильтониан
ff = Sexppi+ 2 ехр 2 (<7;(9.38)
Кинетическая энергия в гамильтониане (9.38) имеет нестандартный вид суммы экспонент от импульсов. Проведенные построения доказывают также, что «экспоненциальная цепочка То да» (9.37) отображается в классическую цепочку Тода (9.35) с помощью двух отображений (9.33), (9.34).ГЛАВА IV
ТРЕХМЕРНОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРУЕМОЕ УРАВНЕНИЕ
В данной главе построено уравнение на комплексно-значную функцию v(t, х, у, z), допускающее представление Лакса с эрмитовым оператором L, содержащим только дифференциальный оператор дх. Собственные числа f(t, у, z) оператора L в силу уравнения Лакса удовлетворяют квазилинейному дифференциальному уравнению первого порядка, выведенному в общем виде в гл. II. Полученное трехмерное уравнение в специальных случаях оказывается связанным с нелинейным уравнением Шрёдингера, с двумерным модифицированным уравнением, выведенным в гл. III и (для стационарных решений) с различными интегрируемыми случаями уравнения Клейна — Гордона. Указаны опрокидывающиеся солитоны двумерных редукций построенного уравнения.
§ 1. Представление Лакса для трехмерного комплексного уравнения
I. Равсмотрим уравнение Лакса
где v(t, X, у, z) — неизвестная комплекснозначная функция, р\, р2 — вещественные постоянные. Оператор А выберем косоэрмитовым следующего вида:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
91где оператор Ai содержит дифференциальный оператор dv:
A1 = - (dyh + Ьду) +
(1.4)
а оператор A2 содержит дифференциальный оператор dz\
A2 = - {dzU + Udl) + - (адх + дха) + w,
а =
w ¦¦
I W, 110. 5 4
(1.5)
Здесь <xi, Cc2 — вещественные постоянные (но их можно считать также и произвольными вещественными функциями переменных t, у, z). Функции Wi, Cli от четырех переменных t, х, у, z выражаются через функцию v(t, х, у, z) в силу уравнения Лакса (1.1) следующими формулами:
W1 =
2/>1 Я-И
а, ---дх у
дх1 IУ ,2 \yi P1 Wn = — ' P1 + P2l -P2
|2 P2
u, a2 -TS» a3 =
'у,
(1.6)
^12+P22
Wi = UI + P2U2, Wi = -Ui-PiU2,
2рл я-1
(Pl-P2)2
дх 1 (VxVz — VxVz),