Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Un = I-
, P1+P2 '2 (P1-P2)''
(Pl-P2)
, (VVz — VVz),
: (ІРЇ + Pt — 4P1P2) vxz — Avdx 11V
В силу соотношений (1.6) уравнение Лакса (1.1) — (1.5) эквивалентно следующему трехмерному уравнению:
= Ct1 (ivXy + i?vdx11V \1) —
Vt
— а,
Vxxz ~Ь ? (Vdx 1 I V |г)х + $vdx 1 (VxVz — VxVz) +
+ т ?2 (Pi + P2У V (Wz — VVe) +
+ 4-Pa (Pi-Л)2 (у I "її-2? IW I8)'
. (1.7)
где ? = 2/G?ip2). 92к уравнению (1.7) ввиду структуры операторов Ai (1.4) и Аг (1.5) применима основная лемма (гл. II), согласно которой собственные числа f(t, у, z) оператора L (1.2) в силу уравнения (1.7) удовлетворяют квазилинейному уравнению
и=ViPffy+(1.8)
где P=(Pi-Pz)I(PiPi). В силу уравнения (1.8) при изменении времени происходит опрокидывание графиков собственных чисел f(t, у, z).
II. Уравнение (1.7) для функций v(t, х, у, z) вида
v(t, х, у, z)=u(t, г), г = х+ kiy + k2z (1.9)
переходит в уравнение
Ut = oc1Ze1 (iurr + Щи I и |2) — cc2Zf2
Urrr + ? (U I U |2)г +
+ J ?2 (Р1 + Pifu (uuT — UUr) + + j ?2 (Pi - P,)* (u\u\l-2ur\u I2)]. (1.10)
Уравнение (1.10) является линейной комбинацией нелинейного уравнения Шрёдингера (а2 = 0) и второго уравнения из его иерархии (аі = 0). Уравнение (1.10) при осі = 0 можно рассматривать так же, как интегрируемую комплексификацию уравнения МКдФ, поскольку для вещественных функций u(t, г) это уравнение (ai = = 0) переходит в МКдФ.
III. Уравнение (1.7) при cci, O2 = const имеет первый интеграл полной вероятности
оо
Jj J I V (t, х, у, z) I2 dx dy dz = const. (1.11)
-OO
Действительно, в силу уравнения (1.7) находим
\v\t = VtV + VUt = Ial (VxvV — VVxy) — — a2[zw + Wxxz + ? (vdx 11V (I)3cV + ?u (vdxx | v Ц)х] = = iaі (O'x'Oy - (.Ul;y)x) — Ci2 (('а'-1), — (rx'-z)x + (vvxz)x +
+ ?( M2Or1MOx+ 4?MJ
. (1.12)
Правая часть в полученном выражении является полной дивергенцией. Поэтому если IV (t, х, у, z) I 0 достаточ-
93но быстро ири Ы, |г/|, Izl то ив равенства (1.12) следует сохранение интеграла (1.11).
IV. Уравнение (1.7) для стационарных решений вида
v(t, х, у, z)=u(x, у, z)exp(i?(?)), (1.13)
где и (х, у, z) и E(t) — вещественные функции, сводится к двум уравнениям
Uxy + ZfiUdx1(UUy) = иЕ (t) CC^1, Uxz + 2(??^ (UUz) = O. (1.14)
Разделим равенства (1.14) на и и продифференцируем по х, получим уравнения
(u-1uxy)x + 2$ииу = 0, (u-luxz)x+ 2$uuz = 0. (1.15)
Покажем, что уравнения (1.15) имеют решения вида
и(х, у, z) = q>x(x, г), r=k\y+k2z, (1.16)
где к і, — произвольные постоянные, а функция ф(ж, г) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
Ф*г = /(ф), (1.17)
причем функция /(ф) является некоторым решением линейного уравнения
/"(ф) + 2р/(ф) = 0. (1.18)
Равенства (1.17), (1.18) определяют различные интегрируемые случаи уравнения Клейна — Гордона (см. § 1 гл. III).
Действительно, уравнения (1.15) после замены (1.16) сводятся к одному соотношению
(ф^фжжг)* + 2Рфхфжг = О,
которое в силу равенства (1.17) эквивалентно уравнению (1.18), а оно предполагается выполненным.
Уравнения (1.14) также имеют решения (1.16) — (1.18) в силу произвола вида F(t, у, z) в выборе аддитивных постоянных в первообразных дх1(ииу), дх 1^uz). Окончательно получаем, что уравнение (1.7) имеет точные решения вида
v(t, х, у, 2) = ф*(;г, kiy + k2z)exp(iE(t)), (1.19)
где функция ф(ж, г) удовлетворяет любому интегрируемому уравнению Клейна — Гордона (1.17) — (1.18), а вещественная функция E(t) произвольна.
94• V. Укажем простейшие точные решения уравнения (1.7), имеющие вид
v(t, х, у, z) = а(?)ехр(гЬ),
(1.20)
? = IclX 4- к2у + kzz - k0t, b = тхх + т2у + тп3г — тп0?,
где а(?) — вещественная функция переменной Уравнение (1.7) после подстановки (1.20) сводится к одному дифференциальному уравнению
а" = - ?A^V + Cla + с2, (1.21)
где Cl, C2 — произвольные постоянные, и двум соотношениям для коэффициентов к{, nij:
К = OC1 (Wi1Zc2 + Tn2Ze1) + a2(cxk\k3—ml(mjt3 + 2m3kl)), 9 CL-Jt2 = а2 (2т Je3 + Zc1Tn3).
При «2 = 0 остается только первое соотношение (1-22) при этом C2 = 0.
Уравнение (1.21) имеет лагранжев вид
а" = - ± (; «4 - "^l ?2 - c2« да у 4й2 2 2
и поэтому обладает интегралом энергии
a'2 + -? я4 - C1U2 - 2с2а = 2Е. (1.23)
Zi К ^
Следовательно, функция а(?) находится путем обращения интеграла
j [2E + Cla\ + 2с2а1— ^2 alT^da, = I - I0. (1.24)
1 /
Из вида интеграла энергии (1.23) следует, что все решения (1.24) при ?>0 являются периодическими, кроме сепаратрисных решений, которые реализуются при E = 0. При ? > 0, Ci > 0, C2 = E = 0 решение уравнения (1.23) имеет вид
к (2c,/?)1/2
(125)
Этому решению соответствует точное, быстро убывающее при |?|->оо решение (1.20), (1.22) трехмерного уравнения (1.7).
95§ 2. Опрокидывающиеся солитоны двумерных редукций
I. Уравнение (1.7) для вещественных функций v, не зависящих от переменной у, переходит в двумерное модифицированное уравнение, изучавшееся в гл. III:
Vt = — а2 (Vxz + 2fivdx1 (vvz))x. (2.1)
Полное комплексное уравнение (1.7) при Cti=O является, таким образом, интегрируемой комплекоификацией уравнения (2.1).