Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Обращая ориентацию во времени, можно получить аналог теоремы 6.19 для пространств Робертсона—Уокера, имеющих неполные в будущем изотропные геодезические. Таким образом, теорема 6.19 приводит к следующему результату.
Теорема 6.20. Пусть (M, g) — пространство-время Робертсона—Уокера, содержащее непродолжаемую изотропную геодезическую, которая одновременно неполна и в прошлом, и в будущем. Тогда существует С1-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (M), такая, что все изотропные геодезические в (M,gi) являются неполными и в прошлом, и в будущем для каждой метрики gi ? U (g).
Сформулируем теперь две теоремы устойчивости для непро-странственноподобной геодезической неполноты, объединив теоремы 6.15 и 6.19 и соответственно теоремы 6.16 и 6.20. Первая из этих теорем применима ко всем моделям большого взрыва, а вторая — к замкнутым моделям большого взрыва.
Теорема 6.21. Пусть (М, g) — пространство-время Робертсона—Уокера вида (a, b) XfH, где а > —оо. Предположим, что (М, g) содержит неполную в прошлом и непродолжаемую в прошлое изотропную геодезическую. Тогда найдется С1-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (M), такая, что все непространственноподобные геодезические в (М, g,) неполны в прошлом для каждой метрики Si € U (g). 176
Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
Теорема 6.22. Пусть (М, g) — пространство-время Робертсона—Уокера вида (a, b) х fH, где и а и b конечны. Предположим, что (М, g) содержит непродолжаемую изотропную геодезическую, которая одновременно неполна и в прошлом, и в будущем. Тогда существует С1-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (M), такая, что все не-пространственноподобные геодезические из (М, gj одновременно неполны 'и в прошлом, и в будущем для каждой метрики gj из
U{g). Глава 7
МАКСИМАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ПРИЧИННО РАЗДЕЛЯЕМЫЕ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Многие основные свойства полных некомпактных римановых многообразий выводятся из того принципа, что предельная кривая последовательности минимальных геодезических сама является минимальной геодезической. После того как Хопфом и Риновым (1931) было дано корректное определение полноты, Ринову (1932) и'Майерсу (1935) удалось доказать, используя этот принцип, что из каждой точки полного некомпактного риманова многообразия исходит геодезический луч. Здесь под лучом понимается » геодезическая 7: [0, сю) —>- (N, g0), реализующая риманово расстояние между любой парой своих точек. Ринов и Майерс построили требуемый геодезический луч следующим образом. В силу полноты и некомпактности (N, g0) существует бесконечная последовательность {рп) точек в N, такая, что для любой точки р ? N d0 (р, Рп) —v оо при п -V оо. Пусть уп — минимальный (т. е. реализующий расстояние) нормальный геодезический сегмент с концами р -= уп (O) и р„. Этот сегмент существует в силу полноты (N, g(J). Если v ? TvN — любая точка накопления последовательности \уп (0)} единичных касательных векторов в пространстве TvN, то 7 (t) -- ехр;, tv — требуемый геодезический луч. То, что 7 является лучом, интуитивно ясно вследствие того, что 7 представляет собой предельную кривую для некоторой подпоследовательности минимальных геодезических сегментов \у,п\. Существование геодезических лучей, проходящих через каждую точку, является важным инструментом в недавно построенной теории структуры полных некомпактных римановых многообразий как положительной (см. Чигер и Громол (1971, 1972)), так и отрицательной (см. Эберлейн и О'Нейл (1973)) кривизны.
Вторым приложением этого основного принципа построения геодезических как пределов минимальных геодезических сегментов является конкретная геометрическая реализация для полных римановых многообразий теории бесконечно удаленных точек (концов) некомпактных хаусдорфовых топологических пространств (см. Кон-Фоссен (1959)). Бесконечная последовательность \рп\ точек в многообразии называется расходящейся к бесконечности, если для произвольно заданного компактного множества К, лишь 178
Г л. 7. Максимальные геодезические
конечное число членов этой последовательности может содержаться в К- Если полное риманово многообразие (N, g0) имеет больше чем одну бесконечно удаленную точку, то в N существуют компактное подмножество К и последовательности {/?„} и \qn\, которые расходятся к бесконечности, так, что 0 < d0 (рп, qn) —v оо и каждая кривая, идущая из рп в qn, встречает К для любого п. Пусть 7,j — минимальный (т. е. реализующий расстояние) геодезический сегмент, соединяющий рп с qn. Так как каждый сегмент 7„ встречает К, то можно построить предельную геодезическую 7: R -V М, которая будет минимальной как предел последовательности минимальных кривых. Тогда «7 (—оо)» соответствует бесконечно удаленной точке многообразия N, представленной последовательностью \рп\, а «7 (+оо)» — бесконечно удаленной точке N, представленной последовательностью \qn\. В частности, полное риманово многообразие, имеющее более одной бесконечно удаленной точки, содержит прямую, т. е. геодезическую 7: (—оо, оо) —>- N, которая реализует расстояние между любой парой своих точек.
