Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вследствие того что риманов сомножитель (Я, h) пространства Робертсона—Уокера однороден, мы получаем приводимоениже следствие из теоремы 6.14, которое для времениподобных геодезических утвердительно решает вопрос, поднятый Лернером (1973, с. 35).
Теорема 6.15. Пусть (М, g) —пространство-время Робертсона—Уокера, M — (a, b) X/ Я, а > —оо. Тогда существует C0-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (M), такая, что все времениподобные геодезические в (М, gj неполны в прошлом для каждой gL ? U (g).
Если изменить временную функцию на (М, g) на другую K1: M -> R, где K1 (t, h) — —t, и применить к полученному при этом пространству-времени леммы 6.12 и 6.13, то получится точный аналог этих лемм для направленной в будущее времениподоб-ной геодезической с: Ito0, b) -> (М, g), задаваемой в этом про-странстве-времени посредством соотношения с (t) ~ (t, у0). Отсюда следует, что если (М, g) — искривленное лоренцево произведение Af = (a, b) Xf H с однородным сомножителем (Я, h) и b < 00, то то же самое доказательство, что и в теореме 6.14, устанавливает С°-устойчивость времениподобной геодезической неполноты в будущем. Объединяя это замечание с теоремой 6.14, получим следующий результат.
Теорема 6.16. Пусть (М, g) — лоренцево искривленное произведение M ~ (a, b) Xf Я, g - —df ® /h, где а и b конечны, а (Я, h) однородно. Тогда существует C0-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor^(M), такая, что все времениподобные геодезические в (М, gi) для любой gi ? U (g) являются неполными как в прошлом, так и в будущем.
Интересно отметить, что, в то время как конечность а и b существенно используется при доказательстве теоремы 6.16, оно не зависит от конкретного выбора искривляющей функции /: (а, Ь) -у (0, оо); существенно используя однородность риманова сомножителя (Я, h), доказательство теоремы 6.16 ни на какие другие геометрические и топологические свойства не опирается. 170
Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
В общей теории относительности и в космологии рассматриваются замкнутые модели большого взрыва (см. Хокинг и Эллис (1977, разд. 5.3)). Эти модели представляют собой пространства Робертеона—Уокера, у которых b — а < оо и Я компактно. Из этого можно заключить, что в теореме 6.16 доказывается, в частности, C0-устойчивость времениподобной геодезической неполноты этих моделей.
Обратимся теперь к доказательству С1-устойчивости изотропной геодезической неполноты для пространств Робертеона— Уокера. Взяв M = (0, 1) XiRc искривляющей функцией / (t) = —- (21)-2 и метрикой g = —dt2 ® fdx2, можно непосредственно убедиться, используя результаты разд. 2.6, в том, что кривая у: (—оо, 0) -> (М, g), задаваемая правилом у (t) — (е*, e2t), является полной в прошлом изотропной геодезической. Поэтому подходящим выбором искривляющей функции можно построить пространства Робертеона—Уокера с а > —оо, которые являются изотропно геодезически полными в прошлом. Таким образом, в отличие от доказательства устойчивости времениподобной геодезической неполноты здесь необходимо предполагать, что (М, g) содержит неполную в прошлом (соответственно неполную и в прошлом, и в будущем) изотропную геодезическую для того, чтобы получить изотропный аналог теоремы 6.15 (соответственно теоремы 6.16). Неудивительно, что доказательство С1-устойчивости изотропной геодезической неполноты является более сложным, чем для времениподобного случая; это происходит вследствие того, что для доказательства изотропной неполноты необходимо вместо лоренцевой длины дуги использовать аффинные параметры. Для доказательства леммы 6.18 также необходимы как изотропность, так и однородность (Я, h). Поэтому в оставшейся части этого раздела мы будем предполагать, что M (a, b) х, H - - простран-ство-время Робертеона—Уокера.
Пусть (V, X1, ..., х„) — адаптированная нормальная окрестность многообразия (М, g) с адаптированными координатами (xL, ..., xri). Для доказательства леммы 6.18 необходимо определить расстояние между компактными подмножествами, составленными из изотропных для различных лоренцевых метрик на M векторов и приложенных в различных точках V. Напомним (из разд. 6.2), что локальные координаты (xL, ..., хп) на V можно поднимать до локальных координат х = (X1, ..., хп, хп+1, ... ..., х2П) на TV = TM S v. Таким образом, для любых q ^ V, gL ? Є Lor (M) и а > 0 можно определить
S(q, a, gi) = TqM: gi(v, v) = 0 и хп+1 (v) = —а}.
Множество S (q, a, gL) является компактным подмножеством пространства TqM для любых а > 0 и gL ? Lor (M). Пусть р, <7 € У, Sk §2 G Lor (M) и аи аг > 0 заданы. Хаусдорфово 6.3. Устойчивость геодезической неполноты
171
расстояние между S (р, аи gL) и S (q, а2, g2) определим посредством следующей формулы:
dist (S (р, Ot1, gi), S (q, a,, g2)) =
( і 2" \ '/2 1 -¦- supinf і ? [Г; (и) Xi (ю)]2 :v Q S(p, OtLgl), wQS(q, CC2, g2) .
W V I і- 1 1 J
Непрерывность компонент метрического тензора g как функций gjf. V -'V-*- к и замкнутость световых конусов для лоренцевых метрик, близких в C0-топологии, обеспечивают непрерывность этого расстояния по р, а и g (см. Буземаи (1962, с. 25)).
