Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 69

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 167 >> Следующая


Следующая, несколько более техническая лемма, необходимая в разд. 6.3, непосредственно вытекает из леммы 6.6, если воспользоваться неравенством треугольника и непрерывностью решения X (s) = (C1^s), с\ (s)) уравнений геодезических.

Лемма 6.7. Пусть (U, х) — локальная координатная карта на n-мерном многообразии М. Предположим, что C1 (о) = = expp Ig11 (sv) лежит в U для всех s, подчиненных неравенству Oeseb. Пусть s > 0 и S1, 0 < S1 < Ъ, заданы. Тогда существует постоянная б > 0, такая, что если ||и — w ||2 < б, Ig1 —

— Sz Ці, и < S и I S0 — S1 I < б ,то геодезическая C2 (s) = exp, [g2 ] х X (sk>) лежит в U для всех s, подчиненных условию Oeseb, и, более того,

I(X-C1)(S1)-(XrC2)(S0)Ke (6.2) 6.3. Устойчивость геодезической неполноты

163

Ci)'Ы| <в (6.3)

для всех 1 с j с п.

Кроме того, если (X1 Oc1)' (S1) ФО, то постоянную 8>0 можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

(X1 О C2)' (S0)

1

(X1 О C1)' (S1)

1 +

в.

6.3. Устойчивость геодезической неполноты пространств Робертеона — Уокера

В этом разделе мы исследуем устойчивость в пространстве лоренцевых метрик непространственноподобной геодезической неполноты пространств Робертеона—Уокера M = (а, Ь) X/ Я (см. определение 4.10). Оказывается, что доказательство C0-устойчивости времениподобной геодезической неполноты использует T оль-ко однородность риманова сомножителя (Я, h), но не его изот роп-ность. В соответствии с этим мы будем формулировать результаты в первой части этого раздела для более широкого класса искривленных лоренцевых произведений M = (а, Ь) Х/Я, где —оо с С а < b с оо и (Я, h) — однородное риманово многообразие. Всюду в этом разделе X1 = t будет обозначать обычную координату на (а, Ъ).

Чтобы изучить геодезическую неполноту таких пространств при возмущениях метрики, полезно использовать координаты, приспособленные к структуре произведения. Зафиксируем р = — ^i) € (а> b) X Я. Вследствие того что подмногообразие X Я многообразия M пространственноподобно, лоренцева метрика g на M индуцирует на касательном пространстве к этому подмногообразию в точке р положительно определенное скалярное произведение. Чтобы определить на Я римановы нормальные координаты х2, ..., хп в окрестности V точки Zz1, можно, отождествив (Z1) хЯ и Я, использовать ортонормированный базис касательного пространства к х Я в точке р. Тогда (X1, х2, ... ..., хп) определяет координатную систему для M на (a, b) х V-По построению в этих координатах метрика g в точке р имеет вид diag {—1, +1, ..., +Ij. Так как подмногообразие х Я не обязательно вполне геодезическое, если / отлична от постоянной, то эти координаты не обязательно нормальные. Тем не менее координаты (xlt х2, ..., хп) хорошо приспособлены к структуре произведения в силу того, что множества уровня X1 (t) = А. есть в точности {^} X V. Будем говорить, что построенные выше координаты (хъ х2, ..., хп) адаптированы в точке р ? М, и будем называть такие координаты адаптированными координатами.

6* 164 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера

Определение 6.8. Выпуклая нормальная окрестность U многообразия (М, g) с компактным замыканием V называется адаптированной нормальной окрестностью, если U покрыто адаптированными координатами [х1у ..., хп), которые приспособлены в каждой точке U так, что выполняются следующие условия:

(1) В каждой точке из U компоненты gtj метрического тензора g, выраженные в данных координатах (xlt ..., хп), отличаются от элементов матрицы diag {— 1, +1, ..., +1} самое большее на 1/2.

(2) Метрика g удовлетворяет соотношению g go. гДе go — метрика Минковского —ds2 = —dx\ -f- ... -j- dx% для U (по поводу обозначения g ^u g0 см. определение устойчивой причинности в разд. 2.2).

Таким образом, в окрестности U из определения 6.8 лоренцеву метрику g можно выразить посредством формулы

g IU = — dxі d кIjT ¦ ¦ ¦ ~r kij dxi dxj,

где функции kif U —>¦ R удовлетворяют неравенству | Iiij | < 1/2 для всех i, /: 1 с Ї, / е п.

Чтобы применить это в дальнейшем, нам необходимо доказать существование счетных цепей \Uh\ адаптированных нормальных окрестностей, покрывающих направленные в будущее непродол-жаемые в прошлое времениподобные геодезические вида с (t) = = (t, г/0). Вследствие того что и в определении 6.10, и в лемме 6.11 допускается возможность а = —оо, мы примем следующее соглашение, которое будет выполняться до конца раздела.

Соглашение 6.9. Через со0 будем обозначать произвольную фиксированную точку интервала (а, Ь).

Дадим теперь следующее определение.

Определение 6.10. Пусть M = (a, b) х — лоренцево искривленное произведение с метрикой g = —dt2 ф /h. Зафиксируем произвольно выбранную точку у0 Q Н. Пусть с: (а, со0] ->• -*¦ (M, g) — направленная в будущее непродолжаемая в прошлое времениподобная геодезическая, заданная соотношением с (t) = = (t, у0). Счетное покрытие \ик\Т= і геодезической с открытыми множествами и строго монотонно убывающая последовательность Ufclib=I1 у которой = W0 и tk -*¦ а+ при оо, называются допустимой цепью для с: (a, co0I->-(.M, g), если:
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed