Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 66

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 167 >> Следующая


Замечание 5.26. Есть примеры С°°-гладких пространственно-временных многообразий, которые являются одновременно и геодезически полными, и локально fr-расширяемыми (см. Бим (1976в, с. 506)). Отсюда следует, что аналитичность в условии теоремы 5.23 нельзя заменить предположением о бесконечной дифференцируемости.

Следствие 5.27. Пусть (M, g) — аналитическое пространст-во-время с незахваченными непространственноподобными кривыми, в котором каждая времениподобная геодезическая у: [0, а) М, непродолжаемая в t — а, либо полна (т. е. а = оо) в указанном направлении, либо соответствует сингулярности кривизны. Тогда (М, g) не имеет аналитических локальных b-граничных расширений. Глава 6

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОСТРАНСТВ РОБЕРТСОНА - УОКЕРА

При доказательстве теорем сингулярности в общей теории относительности очень важны предположения, которые выполняются не только для заданной «основной» лоренцевой метрики g0 на М, но и для всех метрик g на М, достаточно близких к g0. К этому вынуждают различные обстоятельства: не только то, что погрешности астрономических измерений не позволяют точно определить лоренцеву метрику вселенной, но также и то, что космологические предположения, как, например, пространственная однородность вселенной, выполняются лишь приближенно. Как бы то ни было, если теорема о неполноте идеализированной модели (М, go) получена в предположениях, имеющих силу для всех метрик g на M из открытой окрестности метрики g0, то каждое пространство-время (М, g) с метрикой g, достоточно близкой к go, также будет неполным. Отсюда следует, что если модель построена достаточно точно, то выводы, справедливые для модели, также имеют силу и для фактически существующей вселенной.

Напомним, что через Lor (M) обозначается пространство всех лоренцевых метрик на данном многообразии, а через Con (M) — факторпространство, образованное путем отождествления всех глобально конформных метрик gx = Qg2 на М, где Q: M (0, оо) — гладкая функция. Пусть т: Lor (M) ->- Con (M) — естественная проекция, которая каждой лоренцевой метрике g на M ставит в соответствие множество т (g) = gBcex лоренцевых метрик на М, глобально конформных g. Для данного g ? Con (M) положим С (М, g) = т-1 (g) с Lor (M). В общей теории относительности принято называть условия на кривизну или условия причинности для пространства-времени (М, g0) Cr-устойчивыми в Lor (M) (соответственно в Con (M)), если выполнение этих условий для (М, go) влечет за собой их выполнение для всех метрик g в Cr-открытой окрестности метрики go в Lor (M) (соответственно в Con (M)).

После того как были получены теоремы сингулярности (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 8)), возник интерес к изучению Cr-устойчивости таких условий, как существование замкнутых 6.1. Устойчивые свойства Lor (M) и Con (M)

157

ловушечных поверхностей, положительность непространственно-подобной кривизны Риччи и геодезическая полнота, играющих ключевую роль в теоремах сингулярности. Герок (1970) доказал устойчивость глобальной гиперболичности в интервальной топологии на Con (M). Затем Лернер (1973) провел тщательное изучение устойчивости на Lor (M) и на Con (M) условий причинности и условий на кривизну, весьма полезных в общей теории относительности. В частности, Лернер заметил, что интервальная топология и фактортопология на Con (M) совпадают. Отсюда сразу же вытекает, что результат Герока об устойчивости глобальной гиперболичности выполняется для Con (M) в фактор-топологии и, значит, автоматически в Lor (M). Лернером был поднят также следующий вопрос (1973, с. 35) о моделях большого взрыва Робертсона — Уокера: всякая ли непространственноподобная геодезическая остается неполной при малых С-гладких возмущениях метрики?

Основная цель гл. 6 состоит в том, чтобы ответить на этот вопрос утвердительно. В разд. 6.1 мы определим С-топологии и интервальную топологию для Con (M). Затем мы рассмотрим свойства устойчивости на Lor (M) и на Con (M)1 доказанные Героком (1970) и Лернером (1973). В разд. 6.2, применяя «евклидову норму»

12 п 1 1/2

Il ? - ЛІІ2 = (Ij (S) - Xi (Tl)I2J ,

индуцированную на (TM | и, х) координатной картой (U, х) для М, и стандартные оценки из теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений в R", мы получим оценки поведения геодезических в (U, х) при ^-гладких возмущениях метрики. В разд. 6.3 мы применим эти оценки к координатным картам, приспособленным к структуре искривленного произведения M = = (а, Ъ) Xf H пространства-времени Робертсона — Уокера (см. определение 4.10), чтобы изучить устойчивость геодезической неполноты в таких пространственно-временных многообразиях. Мы покажем также (теорема 6.15), что если ((а, Ъ) Xf Н, g0), а>—оо, — пространство-время Робертсона — Уокера, то найдется С°-окрестность U (g0) метрики g0 в Lor (M), такая, что все времениподобные геодезические каждого пространства-времени (М, g) неполны в прошлом для всех g Q U (go). Если предполагать к тому же, что b < оо, то можно получить (теорема 6.16) одновременно и неполноту в будущем, и неполноту в прошлом всех времени подобных геодезических для любых g QU (g0). Похожий результат (теорема 6.19) можно доказать и для изотропной геодезической неполноты, привлекая ДЛЯ ЭТОГО C1-Tono-логию на Lor (M). Объединяя эти результаты, получаем С1- 158
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed