Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
d (р, q) > L (Y) d (р, q) - е. (7.1)
Конечно, неравенство (7.1) представляет собой единственно ограничение на L (у) при условии, что є < d (р, q). В этом случае мы будем называть у «почти максимальной» кривой.
Отметим следующее простое следствие обратного неравенства треугольника.
Замечание 7.1. Пусть у: [0, 1 ] —>- M — направленная в будущее непространственноподобная кривая из р в q, р -ф q, такая, что
d (р, q) — є < L (у) < оо. Тогда для любых s и і из отрезка Г0, II, s < t, имеем L (у I [s, (V(S)1 у (/»-е.
Доказательство. Предположим, что для некоторой пары чисел s и t из [0, 1], связанных неравенством s < t, L (у [s, t]) < < d (у (s), у (t)) — є. Тогда
L(y) = L(y|[0, s]) + L(y|[s, /])-1-I(Y 1])< < d (7 (0), у (і)) + L (у I [s, /]) f- d (у (0, у (1)) < <d (р, у (S)) -I- d (у (S), У (0) — Є 4 d (V (0. q)<d(p, q)- 8, что и приводит к противоречию. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы привести образец принципа, согласно которому для сильно причинных пространственно-временных многообразий пределы почти максимальных кривых являются максимальными геодезическими. Сильная причинность здесь существенна вследствие того, что сходимость в смысле предельной кривой и сходимость в С°-топологии для сильно 7.1. Почти максимальные кривые
181
причинных (но не для произвольных) пространственно-временных многообразий тесно связаны.
Предложение 7.2. Пусть (М, g) — сильно причинное пространство-время. Предположим, что рп -> р и qn -> q, где рп с с qn для каждого я и 0 < d (р, д) < оо. Пусть далее уп: [a, b I -> -> M — направленная в будущее непространственноподобная кривая из рп в qn, подчиненная условию
d(pn, qn)^L(yn)^d(p„, qn) - en>0, (7.2)
где En —v 0 при п оо. Если у: [а, Ь] —>- M — предельная кривая последовательности {y„}, у которой у (а) = р и у (Ъ) = q, то L (у) — d (р, q). Тем самым у можно перепараметризовать в гладкую максимальную геодезическую из р в q.
Доказательство. Прежде всего заметим, что, согласно лемме 2.16, кривая 7 является непространственноподобной. Во-вторых, согласно предложению 2.21, некоторая подпоследовательность |7mI последовательности {уп} сходится к 7 в С°-топологии на кривых. В силу полунепрерывности сверху длины дуги в этой топологии для сильно причинных пространственно-временных многообразий (см. замечание 2.22) из формулы (7.2) получаем
L (у) Iim L (Ym) lim [d (рт, qm) — ej.
Используя полунепрерывность снизу лоренцева расстояния (лемма 3.4), приходим к неравенству L (7) :? d (р, q). Но по определению расстояния d (р, q) 5? L (7). Таким образом L (7) = -- d (р, q). Последнее утверждение следует из теоремы 3.13. ?
Рассмотрим теперь второй метод построения максимальных геодезических в сильно причинных пространствах (М, g), который может быть применен также и к точкам, лоренцево расстояние между которыми бесконечно. Выберем для этого произвольную точку рп ? M и полную (положительно определенную) рима-нову метрику h для паракомпактного многообразия M (и будем считать их фиксированными до конца гл. 7). Обозначим через d0: M у М. —V R риманову функцию расстояния, индуцированную на M метрикой h. По теореме Хопфа—Ринова множества
Bn \т G М: d0 (р0. '") < компактны для всех натуральных чисел п. Таким образом, семейство \Вп: п > 0} образует компактное исчерпывание многообразия M связными множествами. Обозначим через
d [Bn]: Bn X Bn->-R U {оо}
лоренцеву функцию расстояния, индуцированную на Bn включением B11 cz (М, g), п — любое. Иначе говоря, для данной точки 182
Г л. 7. Максимальные геодезические
р Q Bn положим d [Bn J (р, с/) равным точной верхней грани длин направленных в будущее непространственноподобных кривых, идущих из р в q и содержащихся в Bn, если q Q J+ (р, Bn). Если же q ? J+ (р, Bn), то полагаем d [Вп] (р, q) -- 0. Отсюда немедленно следует, что d [S11 ] (р, q] < d (р, q) для всех р, q Q B1 j. Однако з общем случае d [Bn ] не является ограничением на мнон-ество Bn х Bn заданной лоренцевой функции расстояния d многообразия (М. g). Тем ке менее для сильно причинных пространственно-временных многообразий эти два расстояния «в пределе» совпадают.
Лемма 7.3. Пусть многообразие (Al, g) сильно причинно. Тогда для всех р, q ? Al имеем d (р, q) -- lim d [?„) (p, q).
Доказательство. Вследствие того что d [Bn ] (р, q) < d (p, q), требуемое равенство очевидно, если d (р, q) -= 0. Предположим поэтому, что d (р, q) > 0. По определению лоренцева расстояния можно найти последовательность \yk\ направленных в будущее непространственноподобных кривых из р в q так, что L (yh) —>-—> d (р, q) при k —>- сю. (Если d (р, q) — оо, выбираем \у,.\ так, чтобы L (yh) k для каждого k ) Из того, что образ yh в M компактен, а риманова функция расстояния d„: M х M !< непрерывна и принимает конечные значения, для каждого k вытекает существование п (k) > 0, такого, что yh er Bj для всех / п (k). Таким образом, d (р, q) --- lim L (yh) < lim d fBn] (p, q). А так как d \B„ 1 (p, q) с d (p, q) для всякого n, то лемма доказана. ?
Удобно ввести следующее соглашение об обозначении, которое будет использоваться до конца этой главы.
