Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(1) Каждая Uk является адаптированной нормальной окрестностью, приспособленной в некоторой точке геодезической с и содержащей с (th) = [th, г/о)- 6.3. Устойчивость геодезической неполноты
165
(2) Каждая направленная в будущее и непродолжаемая в прошлое непространственноподобная кривая a (t) = (t, Oi (t)), где <7 (tk) = (tu, Уо), остается в Uh для всех t, подчиненных условию th+l t с th, k — любое.
Для произвольной направленной в будущее непространственно-подобной кривой 0 в (М, g) параметризация может быть выбрана так, что a (t) — (t, O1 (0). Поэтому условие (2) накладывается на все направленные в будущее непространственноподобные кривые, исходящие из (th, уо). Покажем теперь, что допустимые цепи существуют.
Лемма 6.11. Пусть M = (a, b) х /#, где а < —оо, Ug = = —dt2 © /h — лоренцево искривленное произведение. Для любого Уо ^ H времениподобная геодезическая с: (а, со01 ->• (М, g), задаваемая соотношением с (t) = (t, у0), может быть покрыта допустимой цепью.
Доказательство. Будем говорить, что \Uk\, \th\ —допустимая цепь для с I (9, co0I1 0 ^ а, если \Uk\, \th\ удовлетворяет условиям определения 6.10, за исключением одного: при k—>¦ оо th -*¦ G+ вместо th ->• а+. Положим т = inf {0 Є [а, со0]: существует допустимая цепь \Uk\, \th\ для с | (0', с00] и для всех 0'
0}. Мы должны показать, что т = а.
Взяв адаптированную нормальную окрестность с центром в с (со0), нетрудно увидеть, что т < со0. Предположим, что т > а. Пусть U — произвольная адаптированная нормальная окрестность, приспособленная в точке (т, у0) ^ М. Выберем г > т так, чтобы все направленные в будущее непространственноподобные кривые 0 (0 = (t, O1 (t)), берущие начало в (г, у0), лежали в U для всех т — є < ( с г, где є > 0. Тогда для с {{г + т)/2, со0 ] найдется допустимая цепь \Un\, у которой tm < г для некоторого т. Положим Um = Um+1 = U. Расширяя конечную цепь \UL, ..., ?/„,_!, Um, Um+1\, \tb ..., tm_u tm, т — є} до бесконечной допустимой цепи, получаем требуемое противоречие. ?
Покажем теперь, что подмножество из Uh, для которого выполняется свойство (2) определения 6.10, можно расширить от точки (th, уо) до окрестности \tk\ X Vh (уо) в \tk\ X Н. Обозначение ||g — gx|1 о. Uh < б определено в разд. 6.2.
Лемма 6.12. Пусть \Uh\, \th\—допустимая цепь для вре-мениподобной геодезической с: (а, со0]->- (М, g), с (t) = (t, г/0). Для каждого k в H существует окрестность Vk (г/0) точки у0, для которой любая направленная в будущее непространственноподобная кривая a (t) = (t, O1 (t)) с о (tk) Q \tk] х Vk (Уо) остается в Uk для всех t, подчиненных условию tk+1 с t < tk. Более того, Vk (уо) w б > 0 можно выбрать так, что если g; ^ Lor (M) и 166
Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
I g — gi ||о, Uk < б. то выполняются следующие два утверждения-, если у (t) -= (t, Y1 (/)) — произвольная непространственноподобная кривая в (М, ^1) с у (th) Є {th\ X Vh (г/о), то
(1) Y остается в Uh для всех t, подчиненных условию th+1 с < t < th\
(2) gy-длина у\ U,t+ь th I не 'больше | 6п (th—th+1).
Доказательство. Нлпомним сначала, что отображение л: M — (а, Ъ) X Я->- к, задаваемое правилом л (/, h) =- t, выступает в роли глобальной функции времени для М. В частности, векторное поле уд удовлетворяет неравенству g (ул, ул) < О во всех точках из М. Определим g ? Lor (M) посредством соотношения
g (х, у) - g (х, у) — g (х, ул) g (у, ул).
Из определения g вытекает, что g <( g на М, так что U2 = --- ig, 4 Con (M): g, < т (g)} является открытой окрестностью С (M', g) в Con (M).' Положим U1 = т-1 (U2). Тогда U1 есть C-открытая окрестность метрики g в Lor (M), такая, что если gx ? ? U1, то отображение проектирования л: M -> R представляет собой глобальную функцию времени для (М, gj. Отсюда следует, что гиперповерхности \t\ X Я, t ? (а, Ъ), остаются простран-ственноподобными в (М, gj. Поэтому любая непространственноподобная кривая Y в (М, gi), gi ? U1, может быть параметризована так, что Y (t) = (t, Yi (O)- Таким образом, лемма будет применима к любой непространственноподобной кривой в (М, gt), исходящей ИЗ произвольной ТОЧКИ В \th\ X Vh (г/о), при условии, ЧТО gi ? U1 достаточно близка к g на Uh.
Пусть (X1, ..., хп)—заданная адаптированная координатная система в адаптированной нормальной окрестности Uh. Ввиду условия (2) определения 6.8 можно найти > 0, такое, что из ||g — gi ||о, < S1 вытекает, что соотношение gL <( g0 выполняется на Uh, где go — лоренцева метрика на Uh, заданная в адаптированных локальных координатах посредством формулы go = —dx2 + dxi + ... + dxi. Во-вторых, по соображениям компактности из того, что С°-близкие метрики имеют близкие световые конусы, вытекает существование окрестности Vh (у0) точки у0 в Я и постоянной S2 > 0, таких, что если gx ? Lor (M) удовлетворяет неравенству | g — gx j|0, uh < б2. a Y (t) = (і, Yi (O) — любая направленная в будущее непространственноподобная кривая в (М, gj), у которой Y (th) € \th 1 X Vk (г/о), то Y (О € Uh для всех t, подчиненных условию th+1 С t < tk-
Остается доказать оценку длины (2). Пусть б ~ шіп (S1, б3, 1/2). Предположим, что метрика Lor(M) удовлетворяет 6.3. Устойчивость геодезической неполноты
