Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Соглашение об обозначении 7.4. Пусть 7 — направленная в будущее непространственноподобная кривая в причинном пространстве-времени. Пусть р = у (s) и q = 7 (t), где s < t и р Ф q. Ограничение 7 на отрезок Is, t ] будем обозначать через 7 \р, q].
Для сильно причинных пространственно-временных многообразий лоренцевы функции расстояния d и d [Bn ] связаны следующим образом.
Лемма 7.5. Пусть многообразие (М, g) сильно причинно. Если рп ->¦ р и qn ->¦ q, то d (р, q) с lim d [Bn 1 (р, q).
Доказательство. Отбрасывая очевидный случай d (р, q) = 0, предположим сначала, что 0 < d (р, q) < 00. Пусть е > 0 задано. Используя определение лоренцева расстояния и стандартные методы теории причинности (см. ГІенроуз (1972, с. 15—16)), 7.1. Почти максимальные кривые
183
можно найти времениподобную кривую 7 из р в q, для которой d (р, q) — е < L (7) с d (р, q). Вследствие того что 7 времени-подобна и L (7) > d (р, q) — є, найдутся точки гъ r2 ? 7, подчиненные условиям d (р, q) — є < L (7 [гь r2 ]) и р T1 < г.г --'С < q. Так как множества /- (^i) и /+ (т2) открыты п /7П -> р, qn ->¦ -> с/, то для всех достаточно больших п имеем P11 « /', ¦'.<' Г2 С К этому следует добавить, что для всех достаточно больших п 7 с= B11, рп ? /- (T1, Bn) и Jn ? /+ (r2, ?„). Тем самым d (р, q) — є < L (7 [гь г2]) с d [?„I (/-7,,, с/,,) для всех больших п. Так как є > 0 произвольно, то в случае, когда 0 < d (р, q) < сю, имеем d (р, q) < Iim d (B11 ) (рп, qn). Рассмотрим, наконец, случай, когда d (р, q) — 00. Выбирая связывающие р с q времениподобные кривые 7,it так,, чтобы L (yh) ^ k (k любое), и рассуждая, как и выше, получим, что d [Bn ] (рп, qn) ja k — є для всех достаточно больших п и каждого k. Отсюда вытекает требуемое lim d \Вп I (рп, qn) = 00, ?
Вследствие того что по предположению (М, g) является сильно причинным, но не обязательно глобально гиперболично, возможны значения лоренцевой функции расстояния d: M X Л1 —>--у R (J {оо}, равные бесконечности +оо. Вместе с тем для любого данного Bn функция расстояния d [B11]: B11 х B11R U U {оо} конечнозначна. Этот факт является следствием компактности множеств B11 и компактности некоторых определенных подмножеств, образованных непространственноподобными кривыми в С°-топологии на кривых (см. Пенроуз (1972, с. 50, теорема 6.5)). Более того, эта компактность влечет также существование кривых, .реализующих d [B11 !-расстояние для точек р, q ^ B11, связанных'условием q ? J+ (р, В„).
Лемма 7.6. Пусть (М, g) — сильно причинное простран-ство-время и /г > 0 произвольно. Если q J+ (р, Bn), то 1) d [B11 ] (р, q) <00 и 2) существует направленная в будущее непространственноподобная кривая у в B11, соединяющая р с q и удовлетворяющая равенству L (7) — d [Bn 1 (р, q).
Доказательство. По определению расстояния d IB11 ] из с.оот~ ношений d [Bn ] (р, q) = 0 и q ? J+ (р, Bn) вытекает существование направленной в будущее непространственноподобной кривой у в Bn, идущей из р в q и удовлетворяющей неравенству L (7) < d [Bn ] (р, q) — 0. Отсюда, как и требуется, вытекает, что L (7) = d [Bn ] (р, q). Поэтому можно предполагать, что d [Bn], (р, q) > 0. Вновь используя определение d [Bn I, найдем 184
Г л. 7. Максимальные геодезические
последовательность {7?} направленных в будущее непространственноподобных кривых, связывающих р с q так, что L (yh) -»-
d [Вп] (р, q). (Если d [Вп] (р, q) = 00, то yh выбираем так, чтобы L (Yft) k для любого k.) Из того, что Bn компактно, а (М, g) сильно причинно, вытекает существование в Bn направленной в будущее непространственноподобной кривой 7 из р в q, обладающей следующим свойством: подпоследовательность {7т} последовательности І7/,} сходится к 7 в C0-топологии на кривых согласно теореме 6.5 Пенроуза (1972, с. 50—51). Используя теперь полунепрерывность снизу длины дуги в C0-топологии на кривых, получаем, что d IBn I (р, q) = lim L (ут) < L (7), откуда следует, что расстояние d [Bn ] (р, q) конечно. Так как по определению L (7) < d [Bn ] (р, q), то отсюда получаем требуемое d [Bn ] (р, q) = L (7). ?
Пусть теперь точки р, q Q M связаны условиями р < q, р Ф q, а в остальном произвольны. Возьмем любую непростран-ственноподобную кривую 7„, соединяющую р с q. Вследствие того что образ кривой y„ компактен в УН, а риманова функция расстояния непрерывна, можно найти N > 0, такое, что Y0 содержится в By. Отсюда следует, что q Q J+ (р, Bn) для всех п 2э N. Поэтому, используя лемму 7.6, можно найти направленную в будущее непространственноподобную кривую уп из р в q так, что L (уп) = d [Bn ] (р, q) для каждого п N. Тогда для Сопредельных кривых последовательности |} получаем следующий аналог предложения 7.2.
Предложение 7.7. Пусть многообразие (УИ, g) сильно причинно up, q Q M —различные точки, связанные условием р < q. Пусть уп — направленная в будущее непространственноподобная кривая, идущая в B11 из р в q так, что L (уп) = d [Bn ] (р, q), где п N (N — достаточно большое положительное число). Если у — непространственноподобная кривая из р в q — такова, что |7„[ сходится к у в C0-топологии на кривых, то L (7) = d (р, q), и значит, у можно перепараметризовать в максимальный геодезический сегмент из р в q.
