Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Описанные римановы конструкции побуждают к изучению аналогичных теорем существования для геодезических лучей и прямых в сильно причинных пространственно-временных многообразиях. С точки зрения общей теории относительности желательно иметь конструкции, годные не только для глобально гиперболических подмножеств пространственно-временных многообразий, но также и для сильно причинных пространств. Однако если предполагать только сильную причинность, то в общем случае оказывается неверным утверждение о том, что причинно связанные точки можно соединить максимальным геодезическим сегментом. Поэтому для лоренцевых многообразий нужен чуть более слабый, чем для полных римановых многообразий принцип построения максимальных геодезических. Именно в сильно причинном пространстве-времени предельные кривые последовательностей «почти максимальных» кривых являются максимальными, а зпачнт, и геодезическими. В разд. 7.1 мы приведем два способа построения семейств почти максимальных кривых, предельные кривые которых в сильно причинном пространстве-времени являются максимальными геодезическими. Сильная причинность нужна для того, чтобы обеспечить полунепрерывность сверху длины дуги в C0-топологии на кривых, а также и возможность применения предложения 2.21. В разд. 7.2 мы применим эту конструкцию к доказательству существования направленных в прошлое и в будущее непространственноподобных геодезических лучей, исходящих из каждой точки сильно причинного пространства-времени.
В разд. 7.3 мы исследуем класс причинно разделяемых пространственно-временных многообразий. Будем говорить, что компактное множество К причинно разделяет пространство-время, 7.1. Почти максимальные кривые
179
если найдутся две бесконечные последовательности \рп\ и \qn], расходящиеся к бесконечности так, что рп < qn, рп Ф qn, и все непространственноподобные кривые, идущие из рп в qn, встречают К для каждого п. Пространство-время (M, g), допускающее такой компакт К, причинно разделяющий две расходящиеся последовательности, называется причинно разделяемым. Из определения видно, что причинная разделяемость является глобальным конформным инвариантом класса С (M, g). Далее, применяя принцип из разд. 7.1, мы показываем, что если сильно причинное пространство-время (М, g) причинно разделяемо компактным множеством К, то (М, g) содержит непространственноподобную геодезическую прямую 7: (а, Ь) —>- М, которая пересекает К, т. е. d (7 (s), 7 (i)) --- L (7 I (s, t]) для всех s, t, подчиненных условию а < s с t < Ь. Этот результат, как будет видно в гл. 11, является существенным для доказательства теоремы сингулярности 6.3 в работе Бима и Эрлиха (1979а). Мы заключаем эту главу исследованием условий на глобальную геодезическую структуру заданного пространства-времени (М, g), из которых вытекала бы причинная разделяемость (.VI, g). В частности, мы покажем, что все двумерные глобально гиперболические простран-ственно-временные многообразия причинно разделяемы. Одно из этих условий и существование в сильно причинных пространственно-временных многообразиях причинно разделяемых непространственноподобных геодезических прямых влекут за собой также, что сильно причинное пространство-время, не содержащее направленных в будущее изотропных геодезических лучей, содержит времениподобную геодезическую прямую.
7.1. Почти максимальные кривые и максимальные
геодезические
Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать способ построения геодезических как пределов «почти максимальных» кривых в сильно причинных пространственно-временных многообразиях. В обеих конструкциях важную роль играют полунепрерывность сверху лоренцевой длины дуги в C0-топологии на кривых для сильно причинных пространственно-временных многообразий и полунепрерывность снизу лоренцева расстояния. Сильная причинность (М, g) является существенной, так как в этом случае сходимости в смысле предельной кривой и в C0-топологии на кривых тесно связаны (см. предложение 2.21). Первую конструкцию можно применить к паре хронологически связанных точек р, q, для которых d (р, q) < 00. Хотя этот подход и достаточен для доказательства существования непространственноподобных геодезических лучей в глобально гиперболических пространствах (см. Бим и Эрлих (1979в, теорема 4.2)), он 180
Г л. 7. Максимальные геодезические
не годится для точек, расстояние между которыми бесконечно. В соответствии с этим для нужд разд. 7.2 и 7.3 мы приведем вторую конструкцию, которую можно использовать в произвольных сильно причинных пространственно-временных многообразиях.
Пусть (М, g) — произвольное пространство-время. Предположим, что р и q — различные точки М, связанные условием р < q. Если d (р, q) = 0, то, взяв в качестве 7 направленную в будущее непространственноподобную кривую из р в q, получим, что L (у) < d (р, q) = 0. Отсюда L (7) = d (р, q), и, согласно теореме 3.13, у можно перепараметризовать в максимальный изотропный геодезический сегмент из р в q. Поэтому предположим, что р С q, или, что равносильно, d (р, q) > 0. Если d (р, q) < оо, то по определению 3.1 для любого є > 0 существует направленная в будущее непространственноподобная кривая у из р в q, удовлетворяющая условию
