Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 6.17. Пусть V — адаптированная нормальная окрестность, адаптированная в точке р Q (M, g). Для заданных а > 0 и є > 0 найдется б > 0, такое, что из условий || р — q ||2 < < б, 1 gi — g (jo, у < б, gi 6 Lor (M) и I Ot1 — а I < б вытекает, что dist (S {q, «і, g,), S (p, a, g)) < є.
Пусть теперь (М, g) — пространство-время Робертсона— Уокера (a, b) х /Я, изотропно неполное в прошлом. Тем самым некоторая направленная в будущее непродолжаемая в прошлое изотропная геодезическая с: [О, А) -> (М, g') неполна в прошлом (т. е. А < оо). Из того, что (Н, h) изотропно и пространственно однородно, а изометрии переводят геодезические в геодезические, вытекает, что все изотропные геодезические неполны в прошлом. Зафиксируем эту непродолжаемую в прошлое неполную в прошлом изотропную геодезическую с: 10, Л) -> (М, g) с заданной параметризацией до конца доказательства теоремы 6.19.
Пусть (со0, г/0) = с (0) Q M = (a, b) х Н. Применим лемму 6.11 к направленной в будущее временинодобной геодезической t -> -> (t, у0), t с CO0, и построим для нее допустимую цепь {Uh], \th\. При помощи выбранных \th] можно найти Sh так, что 0 = --¦ S1 < Si < ... < Sh < ... < А и с (sh) Q \th] X н для каждого k. Положим Ash = Sft+i — sh. Как и выше, пусть X1. M -> R — отображение проектирования на первый сомножитель многообразия M = (a, b) XfH: X1 (t, Ii) — t. Заметим, что если (V, X1, ... ..., хп) — произвольная адаптированная координатная карта, то координатная функция X1: V -> R совпадает с этим отображением проектирования. Если у — произвольная гладкая кривая из М, пересекающая каждую гиперповерхность \t\ х H cz M ровно один раз, и у (s) Q X Н, то будем говорить, что величина I(X1Oy)' (s) I является X1-CKOpOCTbro кривой у В Ul X я. В частности, X1-CKopoCTb фиксированной изотропной геодезической с: [О, А) -> (М, g) в \tk] X H будем обозначать через ah — = I (.V1 ос)' (sft)| для каждого k. 172
Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
Лемма 6.18. Пусть є > О задано. Тогда для каждого k > О существует непрерывная функция 6ft:. [/ft+1, th] х H-*¦ (О, оо) со следующими свойствами. Пусть gj f Lor (M) такая, что на Uft+1, th] X H выполняется оценка Ig1 — g |і < 6&, и пусть у: [О, В) -> M—произвольная направленная в прошлое изотропная геодезическая, у которой у (O) ? jih\ х Я, и хх-скорость \th\ х X H равна ah. Тогда у достигает {th+1\ х H при возрастании аффинного параметра самое большее на 2Asft, и более того, X1-скорость кривой у в |/ft+1} X H удовлетворяет оценке
0
1
ah+і
< 1 f е.
Доказательство. Пусть с: [О, А) -> (М, g) — заданная выше неполная в прошлом изотропная геодезическая. Фиксируем k > > 0. Из пространственной однородности пространств Робертсона—Уокера следует, что существует изометрия ф ? / (H), для которой г|) = id х ф (Е I (М, g) удовлетворяет условию tP (с (?)) ~ (*ft> i/o), гДе У а определено выше. Ввиду того что k в ходе доказательства предполагается фиксированным, можно, не опасаясь путаницы, положить р = (th, уп). Пусть C1 (s) = т|з ° ° с (s + sh). Тогда C1 — непродолжаемая в прошлое неполная в прошлом изотропная геодезическая из (М, g), для которой C1 (0) € {th\ X Н, C1 (Ask) f_ X Я и C1 (s) = ехрр [g] (so),
где V — (с (sh)). Выберем b > 0 так, чтобы Asft < b < 2ASh и C1 (s) ? Uh для всех s, подчиненных условию Ocscb. Ввиду ТОГО ЧТО Ь > Asft, ДЛЯ некоторого t < 4+1 имеем C1 (Ь) ? {/} X Я. Отсюда (X1=C1) (Asft) — (-K1oC1) (b) — th+1 — t > 0. Положим B1 = = min {є, th+1 — (X1OC1) (b)\ > 0.
Пусть теперь gi ^ Lor (M) и q ? Uh f| (Uft! X Я). Предположим, что у. [О, В) -> (М, gj — произвольная направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная gj-геодезиче-ская, у которой у (0) = q, a X1-CKopoCTb в q равна ak. Тогда w = = У' (0) (Е Ttf M удовлетворяет следующим соотношениям: gi (w, w) = 0 и x,l+1 (w) < 0. Более того, у ($) = exp^ Ig1I (sa>). Применяя к C1 и C2 = у леммы 6.6 и 6.7 с постоянной B1 (определенной, как указано выше), можно найти постоянную 60, 0 < < 60 < Asft, так, что из Ц v — w Ц2 < 60, || gt — g ||1; Uk < б0 и I S0 — Ash I < 60 вытекают соотношения
I (X1 о n) (S) - (Jf1 ° C2) (s) I < E1 с /ft+1 - (V1 ° C1) (Ь) (1)
для всех s, 0 < s < Ь,
1 - Єі<
(X1 ° c2)' (s0)
< 1 -S- E1. (2)
(X1 = Cj)' (Asft)
Полагая в неравенстве (1) S= Ь, получаем, что I(X1 = C1) (Ь) — — (X1 о с2) (b) I < th+1 — (X1 ° C1) (Ь), откуда следует, что (X1 =с2) (Ь) < 6.3. Устойчивость геодезической неполноты
173
< 4+1- Значит, найдется s', О < s' < Ь, такая, что (X1 ° о с2) (s') = th+i. Но тогда s' < b < 2As*. Последнее неравенство показывает, что аффинный параметр для C2 при переходе от \tk\ X H к {4+i} X H возрастает меньше, чем 2A.sk, при условии, что б0 выбрано так, как указано выше.
Для произвольной геодезической C2 (s) = exp Ig1I(Stw), где gi и w б0-близки KgHV (как и выше), обозначим через s' значение аффинного параметра s для с2, такое, что (X1^c2) (s') = th+1. Согласно лемме 6.6, при 60 -> 0 соответствующее значение s' стремится к Ask. Таким образом, в силу непрерывной зависимости от параметра можно выбрать S1, 0 < S1 < б0, так, чтобы для любой геодезической C2 (s) -- exp Ig1 ] (Sffil), у которой gx и W бі-близкн К g и V соответственно, ВЫПОЛНЯЛОСЬ равенство (X1OC2) (s') — -= tk+i' гДе s' ? [Asfe — б0, Asft + o0J. Отсюда, применяя оценку (2) при S0 — s', что возможно ввиду неравенства oj б0, получаем
