Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1 - е <
(Xi Oc2)' (s')
(X1 О C1)' (Asft)
й
a/i+l
< 1 I е. (6.4)
Теперь нам нужно распространить эти оценки с окрестности v ? G TpM на окрестность S (р, ak, g). Заметим для этого, что так как M = (a, b) X /Я — искривленное произведение одномерного сомножителя (а, Ь) и Я с /: (a, b) —>-R, то группа I (H) действует на S (р, ak, g) транзитивно. Поэтому для любого заданного z ? S (р, ak, g) можно применить предыдущие рассуждения, используя ту же самую допустимую цепь {Uk), {tk) для того, чтобы найти постоянную oj (z) >0, такую, что если w ? TM удовлетворяет условию I w — z||2 •< oj (г), у (w) 6 6 'Uk П (\tk) X Я), Ii gl - g«!, Uk < б! (z) и C2 (s) = exp Ig1 ] X X (sw) имеет в {4} X Я хгскорость, равную ak, то C2 при переходе от \tk) XH к {4+i} X Я имеет прирост аффинного параметра не больше, чем на 2Аsk, и подчиняется оценке (6.4). Используя компактность S (р, ak, g), можно выбрать изотропные векторы V1, ..., Vj ? S (р, ak, g) так, чтобы множества \w ? S (р, ak, g):
II w — vm ||2 < 6i (vm), где т = 1...../} покрывали S (р, ak, g).
Положим б2 = min {б (vm): 1 < m с j|. Согласно лемме 6.17, существует постоянная б3, О •< б3 •< б2, для которой из неравенств \р — ЯІІ2 < бз, II gl — gill, uk < б3, W Є S (р, ak, g) вытекает, что I w — Vm ||2 < 6i (vm) для некоторого т. Отсюда вытекают следующие свойства б3. Если у: [О, В) ->-(М, gi) —произвольная непродолжаемая в прошлое направленная в прошлое изотропная геодезическая из (М, gj, для которой || gi — g||i,[/A < б3, у (O) t
G ({4} X Я) П \g G Uk: I р -?||2<б3Ь где р = (th, Уо), и которая имеет в у (0) хгскорость ah, то к у применим^ заключения теоремы 6.16. Ввиду того что I (H) действует на Я транзитивно, этот результат можно распространить с (\th) X Я) П 174 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
П W € Uk'- II/7 — ЯІІ2 < на все \tk\ XH в точности так же, как и в доказательстве леммы 6.13. В частности, функции oft: [tk+1, /ft] X H (0, оо) можно построить именно так, как в лемме 6.13. ?
Доказав лемму 6.18, мы теперь готовы к тому, чтобы доказать (^-устойчивость изотропной геодезической неполноты в прошлом для пространств Робертсона—Уокера. Вследствие изотропности и пространственной однородности пространств Робертсона—Уокера неполнота в прошлом одной непродолжаемой изотропной геодезической влечет за собой неполноту в прошлом всех изотропных геодезических. Таким образом, теорему устойчивости можно сформулировать следующим образом.
Теорема 6.19. Пусть (М, g) — пространство-время Робертсона—Уокера, содержащее непродолжаемую изотропную геодезическую, которая неполна в прошлом. Тогда существует С1-окрестность U (g) метрики g в пространстве глобально гиперболических метрик Lor (M), такая, что все изотропные геодезические на (.M, gi) неполны в прошлом для каждой gі Q U (g).
Доказательство. Пусть M -= (a, b) х /Я и с: [О, А ] -> -> (М, g') — заданная непродолжаемая неполная в прошлом изотропная геодезическая. Положив Co0--X1(C(O))1 будем считать \Uh\, {/ft}, {Shi и {(?! выбранными, как и в абзаце, предшествующем лемме 6.18. Пусть {?ftj — последовательность вещественных чисел, у которой 0 < ?ft < 1 для каждого k и 1/2 < JJ^ , (1 — — ?ft) < 1. Тогда для каждого т 1 имеем
т
кПО-РЙГ1^. (6.5)
Применяя лемму 6.18 для каждого k ^ 1 с є — ?ft) получаем непрерывную функцию 6ft.- [/,!+1, /ft] X H —V (0, оо), свойства которой описаны в лемме 6.18. Выберем непрерывную функцию 6: M -> (0, оо) так, чтобы для произвольной точки q Q М, лежащей в области определения oft, выполнялось неравенство б (q) < < 6? (q). Положим U1 (g) --- Ig1 Q Lor'M: | gi — g |г. < 6I и вы" берем (^-открытую окрестность U2 (g) метрики g в Lor (M) так, чтобы все метрики из U2 (g) были глобально гиперболическими, и так, чтобы каждая гиперповерхность {/} х H была простран-ственноподобной в (М, gj для всех t Q (а, Ь) и любой gj Q U2 (g) (см. лемму 6.12). Положим U (g) = U1 (g) f] ^2 (§)•
Допустим теперь, что gi t U (g) и у: [О, В) -> M — произвольная направленная в будущее и непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая в (М, gj. Перепараметризуя у, если это необходимо, можно предполагать, что X1 (у (0)) — 4 для некоторого k ^ 1 и что у имеет в j/A} X H X1-CKopoCTb, равную ah. Cor- 6.3. Устойчивость геодезической неполноты
175
ласно лемме 6.18, при переходе от \th\ х H к \th+1] х Я аффинный параметр у у изменяется самое большее на 2Аsh. Чтобы применить лемму 6.18 к у, когда у переходит от j/ft+i} X Як |/ft+2} X X Я, может оказаться необходимым перепараметризовать у в {//t+i} X Я так, чтобы она имела в X Я .^-скорость,
равную ak+1. Тем не менее, если обозначить через 0ft+1 .^-скорость У в {Ot+ii X Я, то из леммы 6.18 получаем, что 1 — ?A < < І вй+1/схй+11 < 1 + ?h- Тем самым .^-скорость у в \th+1\ X Я не может быть меньше (1 — Pft) oCh+i- Значит, аффинный параметр кривой у при переходе от |/ь+1} X Я к {th+2\ X Я возрастает самое большее на 2 (1 — PJ-1 Asft+1. Рассуждая по индукции, можно убедиться в том, что при переходе от {th+l] X Я хЯ аффинный параметр кривой у возрастает самое большее на 2Ass+iXJj-=O (1 — Р*+і) '• Применяя неравенство (6.5), получаем, что при переходе от \thu\ X Я к {//i+/+i! X Я аффинный параметр у возрастает самое большее на 4AsA+/. Из того, что ASh = A, вытекает, что полная аффинная длина В кривой у меньше 4А. Но так как 4А < оо, то это означает, что у неполна в прошлом, что и требовалось доказать. ?
