Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
167
неравенству I g' — g ||0, < б, а у (/) — (t, Yi (O) — произвольная непространственноподобная кривая в (М, g') с условием y (Jtk) € € \tk\ X Vh (г/о), V- [4+ь tk]М. Обозначим через L (у) длину кривой Y в (М, g'). Таким образом,
tK г_
IAv) - J |/ 2 - - glі (Y(O) Yi (0 Vi(t)d/.
'/,+1 V і
В силу определения 6.8 и выбора б' имеем | gij | < (1 + 1/2) + H- 1/2 = 2 и I yi (t) I < і 3 для всех 1 < і, / < гг. Поэтому
L (y) < \''іЧІУ^пй (| з)2 dt — і 6« (Jth — Л.+і), как и требовалось. ?
Предполагая теперь, что риманов сомножитель (Я, h) лоренцева искривленного произведения однороден, распространим утверждение леммы 6.12 с Uh до tk] X Я. Будем исполь-
зовать обозначение Ig1 — g |0 < б, определенное в разд. 2.2.
Лемма 6ЛЗ. Пусть (М, g) —лоренцево искривленное произведение с однородным (Я, h), и пусть [Uh\, \t!sj — допустимая цепь для с (t) = (/, г/0), с: (а, м0] -> М. Если для каждого k существует непрерывная функция б,,: U/i+1, th] х Я -> (0, оо), такая, что для метрики gj ? Lor (M), удовлетворяющей условию |g — Si Io < ?ft на [th+1, th] X Я, любая непространственноподобная кривая у (0 = (t, Yi (0), Y: [4+1, h I -> (М, gj, со<>-диняющая произвольную точку из X Я с произвольной
точкой из {/ft} X Я, имеет длину не больше \ 6п (tk — tk+1).
Доказательство. Зафиксируем произвольное k > 0. Пусть б > 0 — постоянная из леммы 6.12, такая, что если gL ? Lor (M) удовлетворяет неравенству Ig1 — g||()j uh < б, то любая непространственноподобная кривая Y (0 ~ (U Yi (0) в (М, gj с условием Y (th) (z \th\ X Vh (г/о) остается в Uk для всех t, подчиненных условию th+i < t С tk, и имеет длину не больше I 6п (th — — tk+i)¦ Пусть далее (X1, ..., хп) — заданные координаты, приспособленные для Uh.
В группе I (H) можно найти изометрии {срг}П=1, такие, что
если Уі = фг- (г/о) и Vk (уд = Фг (Vk (у0)), то множества \Vk (yt)\T^ 1 вместе с Vk (г/о) образуют локально конечное покрытие Я. Пусть Фг: M —> M — изометрия, заданная посредством правила Фг (t, Ii) = (t, фг (/г)). Положим Ui = Фг (Uk) для "каждого і. Тогда множества [Ui} покрывают [tM,th]xH, а (хъ X2OQJ1,... ..., хп «Ф71) являются адаптированными локальными координатами для Ui, і любое. Так как все строится при помощи изометрий, то постоянная б > 0, которая работает в лемме 6.12 168 Гл. 6. Устойчивость пространств Робертсона—Уокера
для Uh и с (I) = (/, у0), одинаково хорошо работает для каждого Ui и ФiOc при условии, что для Uі используются адаптированные координаты х.2оФ71, ..., хпсФ71). Если 6h: [tk+1, th\ -> M — произвольная непрерывная функция, для которой из неравенства Jg1 — g |0 < б/г на itk+1, tk\ >: Н вытекает, что Il gi — ё ||о, Ui < б для каждого І, то утверждение леммы немедленно следует из леммы 6.12. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать (^-устойчивость времениподобной геодезической неполноты для лоренцевых искривленных произведений M — (a, b) XfH, где а > — оо и (Н, h) однородно.
Теорема 6.14. Пусть пространство-время (М, g) представляет собой искривленное лоренцево произведение M == (а, b) X /Я, где а > —оо, g = —Л2 ® /h и (Н, h) — однородное риманово многообразие. Тогда существует C0-окрестность U (g) метрики g в пространстве Lor (M) всех глобально гиперболических метрик, такая, что для каждой метрики g\ ? U (g) все времени-подобные геодезические в (М, gj неполны в прошлом.
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку у0 Q М. Пусть с: (а, со0] -> M — непродолжаемая в прошлое и направленная в будущее геодезическая, задаваемая по правилу с (t) =
(I, Уо)¦ Пусть [Uk], \tk\ —допустимая цепь для с, существование которой гарантируется леммой 6.11. Выберем для каждого tk в соответствии с леммой 6.13 бА: U/e+i, tk] X H —V (0, оо). Пусть б: M —V (0, оо) — непрерывная функция, у которой б (р) < < бй (q) для всех q Q [th+1, tk] X H и любого k > 0. Положим V1 (g) = {gi 6 Lor (M); I gi — g I0 < б}. Вследствие того что глобальная гиперболичность является С°-открытым условием, можно также предполагать, что все метрики в V1 (g) глобально гиперболические.
Согласно изложенному в первом абзаце доказательства леммы 6.12, можно выбрать С°-окрестность V2 (g) метрики g в Lor (M) так, что для всех gj Q V2 (g) каждая гиперповерхность {/} х Н, t Q (а, Ь), пространственноподобна в (М, gj. Тогда каждую непространственноподобную кривую у. (а, ?) (М, gi) путем перепараметризации можно привести к следующему виду: у (t) = = Ti (0)- Вследствие того, что лемма 6.12 применима ко всем непродолжаемым непространственноподобным геодезическим в (М, gt), получаем, что gt Q V2 (g).
Рассмотрим теперь С°-окрестность U (g) = V1 (g) П V2 (g) метрики g в C0-топологии. Пусть gi_ Q U (g), а у: (а, ?) (М, gj — произвольная направленная в будущее непродолжаемая времениподобная геодезическая. Используя рассуждения Герока (1970, 6.3. Устойчивость геодезической неполноты
169
с. 448), можно считать, что {^} х Я — поверхность Коши для (М, gi), и, значит, существует S0 ? («, ?), для которого у (s„) Є Є j/i( X Я. При переходе от \tk+1\ X Я к х Я gi-длина кривой 7, согласно лемме 6.13, не больше у 6л (tk — tk+1) для каждого k. Складывая эти оценки, получаем, что gi-длина 71 (a, S0 ] не больше V 6л (/і — а). Поскольку y| [ к, S0I — непродолжа-емая в будущее времениподобная геодезическая конечной gi-длины, кривая 7 неполна в прошлом в (М, gJ-П
