Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 80

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 167 >> Следующая


187

при т-*- оо, Переходя, если необходимо к подпоследовательности |7і, I последовательности {7Ш}, согласно предложению 2,21, можем предполагать, что yk [р, Xh1 сходится к 7 \р, л-1 в Cn-топологии на кривых (вспомните соглашение 7,4 об обозначениях). Из того, что 7 Iр, х] замкнуто в M и q 7, вытекает существование открытого множества V, содержащего 7 [р, х] и не содержащего q, q ф V. Так как yh Iр, Xh ] -*¦ у [р, х I в C0-топологии на кривых, то найдется N1 > 0, такое, что yh [р, Xh] сі V для всех k >: N1. Отсюда следует, что q yh Iр, xh] для всех k ^ :? N1. Тем самым для всех k ^ N1 справедливо включение у k lp, X.) сі 7;, [р, q], которое означает, что L{yh(p, xh) ] = — d I?ft ] (p, xh) для всех k ^ N1. Из леммы 7,5 и полунепрерывности сверху длины дуги в C0-топологии на кривых для сильно причинных пространств имеем

d (р, х) < lim d [Btl] (р, xh) = lim L (yh [р, Xh]) с

< Iim L (у,, [р, xh])<.L(y[p, X]).

Так как по определению лоренцева расстояния L (у [р, л'1) е с d (р, х), то d (р, х) -- L (у, [р, х]), что и требовалось доказать. ?

Для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий случай (1) предложения 7.9 имеет место всегда вследствие того, что множество J+ (р) П J' (я) компактно и никакая непродолжаемая непространственноподобная кривая не оказывается захваченной компактным множеством в прошлом или в будущем. Однако путем выкалывания точек из пространства-времени Минковского можно построить сильно причинное, но не глобально гиперболическое пространство-время, имеющее хронологически связанные точки р q, к которым применим в точности один из случаев (2)—(4).

Теперь при помощи предложения 7.9 можно доказать, что из каждой точки сильно причинного пространства-времени исходят направленные в прошлое и направленные в будущее непростран-ственноподобные геодезические лучи. Как обычно, достаточно показать, что из каждой точки исходят лучи, направленные в будущее.

Теорема 7.10. Пусть (M, g) —сильно причинное пространство-время и точка р Q M произвольна. Тогда существует направленный в будущее непространственноподобный геодезический луч у: [0, а) -»- М, у которого у (O) = р, т. е. d (р, у (/)) = = L (у I [0, t ]) для всех t, удовлетворяющих условию 0 с t < а.

Доказательство. Пусть с: [О, Ь) ->¦ M — направленная в будущее и непродолжаемая в будущее времениподобная кривая, 188

* Гл. 7. Максимальные геодезические

с (O) = р. Вследствие того что (М, g) сильно причинно, с не может быть захвачена в будущем никаким компактным множеством (см. предложение 2.9). Таким образом, существует последовательность {?„}, такая, что tn -*¦ b и d0 (р, с (tn)) ->¦ оо при п -»- оо. Положим qn = с (tn) для каждого п.

Применим теперь предложение 7.9 к каждой паре р, qn с К = = \р]. Для каждого п либо (1) существует максимальный направленный в будущее -непространственноподобный геодезический сегмент из р в qn, либо (2) существует направленный в будущее непродолжаемый в будущее непространственноподобный геодезический луч, начинающийся в р. Если при некотором п имеет место случай (2), то все доказано. Предположим поэтому, что для каждого п найдется максимальный направленный в будущее непространственноподобный геодезический сегмент уп, соединяющий р с qn. Продолжим кривую уп до направленной в будущее непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, сохранив за ней обозначение уп. Согласно предложению 2.18, последовательность \уп\ имеет направленную в будущее непро-должаемую в будущее непространственноподобную предельную кривую у: [0, а) -»- М, у которой 7 (0) = р. Перенумеровывая qn, если это необходимо, можем считать, что сама последовательность І7п} определяет 7.

Остается показать, что если точка х G 7> P Ф х произвольна, то L (у [р, х]) = d (р, х). Так как {7„} выделяет 7, то для каждого п можно выбрать хп ? уп так, чтобы хп ->¦ х при п -*¦ оо. В соответствии с предложением 2.21 выделим из последовательности \уп\ подпоследовательность {7т} так, чтобы 17т \-Р, Хт]} сходилась к 7 \р, х] в С°-топологии на кривых. Отсюда вытекает существование N > O^такого, что ут [р, хт] cr B^ для всех т ^s N. Из того, что ?lV —компакт, a d0 (р, qn) -»- 00, следует, что существует N1 ^ N, для которого qm ф. Bn при всех tn N1. Отсюда^ вытекает, что соотношение L (ут [р, хт ]) = d (р, хт) = — d IBm ] (р, хт) справедливо для всех N1. Используя

лемму 7.5 и полунепрерывность сверху лоренцевой длины дуги в С°-топологии на кривых, получаем

d (р, х) lim d [Вт] (р, хт) = lira L (ут [р, хт\) с

с Iim L (ут [р, хт\) L (у [р, X]), откуда d (р, х) = L (у [р, х]), как и в предложении 7,9, Q 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 18Э

7.3. Причинно разделяемые

пространственно-временные многообразия и непространственноподобные геодезические прямые

В этом разделе мы определим и изучим класс причинно разделяемых пространств. Обоснованием нашего определения этого класса пространственно-временных многообразий является геометрическая реализация бесконечно удаленных точек некомпактного полного риманова многообразия при помощи геодезических прямых, рассмотренная во введении к этой главе (см. Фройден-таль (1931), где впервые дано определение бесконечно удаленной точки некомпактного хаусдорфова топологического пространства). Напомним, что бесконечная последовательность в некомпактном топологическом пространстве называется расходящейся к бесконечности, если для любого заданного компактного подмножества С лишь конечное число элементов последовательности содержится в С.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed