Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Используя лемму 7.5 и полунепрерывность сверху длины дуги в С°-топологии на кривых в сильно причинных пространственно-временных многообразиях, получим
й(р, q) < lim d [Вп\(р, q) = HmL (уп) < с Iim L (y„) < L (7) < d (р, q), что и требовалось. ? 7,2, ЙепространсгАвенноподобные геодезические лучи 185
Пусть теперь р, q, р < q, — различные точки произвольного сильно причинного пространства-времени. Предположим, что последовательность |уп} непространственноподобных кривых из р в q выбрана, как в предложении 7.7. Несмотря на то что предельная для последовательности \уп\ кривая 7, 7 (0) = р, всегда существует (см. предложение 2.18), нет гарантии в том, что 7 достигнет точки q, если (М, g) не является глобально гиперболическим. В самом деле, если d (р, q) = 00, то максимальных геодезических из р в q просто не существует, а поэтому нет и предельной для последовательности |7П| кривой 7, исходящей из р (7 (0) = р) и проходящей через q. Совмещая вывод, полученный из предложения 7.7, с предположением о том, что 7 соединяет р с q (см. предложение 7.7), приходим к неравенству d (р, q) < 00. Напротив, условие d (р, q) < 00 не приводит к тому, что любая кривая 7 (7 (0) -= р), предельная для последовательности {y„}, достигнет с/, если многообразие (М, g) не является глобально гиперболическим. Соответствующие примеры можно легко построить, выбрасывая точки из пространства-времени Минковского.
7.2. Непространственноподобныз геодезические
лучи в сильно причинных пространствах
Целью этого раздела является доказательство того, что из каждой точки- сильно причинного пространства-времени (М, g) исходят направленные в прошлое и направленные в будущее непространственноподобные геодезические лучи.
Определение 7.8. Направленным в будущее (соответственно в прошлое) непространственноподобным геодезическим лучом называется направленная в будущее (соответственно в прошлое) непродолжаемая в будущее (соответственно в прошлое) непространственноподобная геодезическая 7: (0, а) -*¦ (М, g), обладающая следующими свойствами: d (7 (0), 7 (t)) = L (7 | [0, t\) (соответственно d (7 (t), 7 (0)) = L (7 | [0, t\) для всех і, удовлетворяющих условию 0 < t < а.
Из обратного неравенства треугольника вытекает, что не-пространственноподобный геодезический луч максимален между любой парой своих точек.
Используя леммы 7.5 и 7.6, докажем сначала предложение, необходимое для доказательства существования не только непространственноподобных геодезических лучей, но также и существования непространственноподобных геодезических прямых в сильно причинных причинно разделяемых пространственно-временных многообразиях (разд. 7.3). Пусть Bn и d IBn I: Bn х Bn -*¦ -*¦ R те же, что и в разд. 7.1. 186
* Гл. 7. Максимальные геодезические
Предложение 7.9. Пусть (М, g) — сильно причинное пространство-время и К — произвольное компактное подмножество М. Предположим, что р и q — различные точки из М, такие, что р с q и каждая непространственноподобная кривая из р в q встречает К. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих утверждений:
(1) Существует направленный в будущее максимальный непро-странственноподобный геодезический сегмент с концами в р и q, который пересекает К-
(2) Существует направленная в будущее максимальная непространственноподобная геодезическая, которая начинается в р, пересекает К и является непродолжаемой в будущее.
(3) Существует направленная в будущее максимальная непространственноподобная геодезическая, которая кончается в q, пересекает К и является непродолжаемой в прошлое.
(4) Существует максимальная непространственноподобная геодезическая, которая пересекает К и является одновременно непродолжаемой и в прошлое, и в будущее.
Доказательство. Пусть у,, — произвольная направленная в будущее кривая в М, идущая из р в q. Из того, что К U І7«і компактно, вытекает существование N > 0, такого, что множество A' U Ы содержится в Bn для всех п^г-. N. Тем самым q ? J+ (р, Bn) для всех п ^ N. Поэтому, согласно лемме 7,6, для каждого п ^s N найдется направленная в будущее непространственноподобная кривая уп в Bn, соединяющая р с q так, что L (у„) — --= d [Bn 1 (р, q). По предположению каждая уп пересекает К в некоторой точке rn. В силу компактности К существуют точка г ? К и подпоследовательность |rm| последовательности {/*„}, такие, что гт -*¦ г при т -*¦ оо. Продолжим каждую кривую ут до непространственноподобной непродолжаемой ни в прошлое, ни в будущее кривой, которую по-прежнему будем обозначать через Ym. Согласно предложению 2,18, существует непродолжаемая непространственноподобная кривая предельная для подпоследовательности \ут\ и такая, что у содержит г. Переобозначая, если необходимо, МЫ можем считать, ЧТО IYmI определяет Y-
Предельная кривая y либо содержит и р, и q, либо только р, либо только q, либо не содержит ни р, ни q. Эти четыре возможности приводят соответственно к четырем случаям (1)—(4) рассматриваемого предложения. Так как доказательства весьма похожи, приведем доказательство только для второго случая. Предположим поэтому, что у: (а< Ь) -*¦ M содержит р = у (tn) и не содержит q. Нужно показать, что y | Un, Ь) максимальна. Возьмем на кривой у I Un, Ь) произвольную точку х. Так как |ут| выделяет у. то можно найти точки хт ? Ym. такие, что хт -*¦ х 7.2. Непространственноподобные геодезические лучи
