Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 7.11. Пространство-время (М, g) называется причинно разделяемым компактным множеством К, если существуют две бесконечные последовательности точек {/?„} и \qn\, расходящиеся к бесконечности так, что рп с qn, ра ф qn для любого п и все направленные в будущее кривые из рп в qn встречают К-Пространство-время (М, g), которое причинно разделяемо некоторым компактом К, называется причинно разделяемым.
Заметим прежде всего, что если k ф п, то ph не обязательно причинно связана с qn или рп. Отметим также, что компактное множество К может быть совершенно отличным от поверхности Коши (см. теорему 2.13) и что глобально гиперболические сильно причинные пространственно-временные многообразия могут быть причинно разделяемыми, даже если они и не содержат поверхностей Коши. Пример такого рода дает пространство-время Райсснера—Нордстрема с е2 = т2 (рис. 7.1).
Непосредственно из определения 7.11 следует, что если (M, g) причинно разделяемо, ТО ДЛЯ произвольной метрики gl Є С (M, g) многообразие (М, gx) будет также причинно разделяемо. Это означает, что причинная разделяемость является глобальным конформным инвариантом.
Ранее мы пользовались более обременительным вариантом причинной разделяемости, в котором в дополнение к условиям определения 7.11 предполагалось, что 0 < d (рп, Яп) < оо для любого п (см. Бим и Эрлих (1979а, с. 171; 1979в)). С этим дополнительным условием наше предыдущее определение было, вообще говоря, конформно инвариантным только для класса глобально гиперболических пространственно-временных многообразий. 194
* Гл. 7. Максимальные геодезические
Л
%
&
S-
3
Рис. 7.1. Показана диаграмма Пенроуза для пространства-времени Райсснера—Нордстре-ма с ?2 = /я2, содержащего причинно разделяющее множество К и связанные расходящиеся последовательности {рп} и {qn}, Это пространство-время не содержит поверхностей Коши потому, что оно не является глобально гиперболическим.
Дадим теперь следующее
Определение 7.12. Пусть (М, g) —произвольное простран-ство-время. Непродолжаемая в прошлое н в будущее направленная в будущее непространственноподобная геодезическая у: (а, Ь) —у M называется непространственноподобной геодезической прямой, если L (у I [s, t ]) d (7 (s), у (t)) для всех s и связанных условием а < s < t < Ь.
Установим существование непространственноподобных геодезических прямых для сильно причинных причинно разделяемых пространственно-временных многссбразий. Этот результат будет важным вкладом в доказательство теорем о сингулярностях для причинно разделяемых пространственно-временных многообразий в разд. 11.4.
Теорема 7.13. Пусть (М, g) —сильно причинное пространство-время, причинно разделяемое компактным множеством К. 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 18Э
Тогда M содержит непространственноподобную геодезическую прямую у: (a, b) -у М, которая пересекает К-
Доказательство. Пусть К, \рпI и \qn\ те же, что и в определении 7.11. Применяя предложение 7.9 к К, рп и qn, для каждого п получим направленную в будущее непространственноподобную геодезическую уп, пересекающую К в некоторой точке гп и удовлетворяющую по крайней мере одному из случаев (1)—(4) предложения 7.9. Если случай (4) имеет место для любого п, то мы получаем требуемое. Предположим поэтому, что уп не удовлетворяет условию (4). Отсюда вытекает, что хотя бы один из случаев (1)—(3) выполняется для бесконечного числа номеров п. В силу того что разбор этих случаев весьма схож, мы приведем доказательство только для ситуации (2). Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, можно предполагать, что случай (2) выполняется для всех п. Ввиду того что К — компакт, существует подпоследовательность последовательности \гт\,
такая, что rm -у г при т -у оо. Продолжим каждую ут через рт в прошлое так, чтобы получить непространственноподобную кривую (за ней мы сохраняем то же обозначение Ym), которая для любого т является непродолжаемой как в прошлое, так и в будущее. Согласно предложению 2.18, последовательность \ут\ имеет направленную в будущее непродолжаемую ни в прошлое, ни в будущее непространственноподобную предельную кривую Y. причем г ? Y- Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, можно предполагать, что сама {Yml определяет Y- Докажем, что Y —требуемая непространственноподобная прямая. Чтобы выяснить это, достаточно показать, что если х, у ^ у —различные точки, связанные отношением х с г < у, то L (у їх, у]) — = d (х, у). Ввиду ТОГО ЧТО {Yml выделяет Y- можно найти точки хт, ут (z Ут, такие, что хт —у X и ут -у у при m -у OO. Переходя, если это необходимо, к подпоследовательности \yk\ последовательности {Yml, согласно предложению 2.21, можно считать, что Y h l*h, Ук ] СХОДИТСЯ KY ІХ, у] в C0-топологии на кривых. Из того, что у Ix, у] компактно в М, вытекает существование N > О, такого, что Y [х, у] сг Int (Bs)- По определению C0-топологии на кривых найдется такое N1^s N, что Yfe Ix., yiJ er Int (Bn) для всех k ^ N1. Так как [ph\ расходится к бесконечности, a Bn компактно, то можно указать N2 ^ N1, для которого pk ^ ^ Bn, где k ^ N2 любое. Следовательно, Xh для всех k ^ N2 идет вслед за pk на yk, так что yh Ixh, yh] максимальна для всех k ^ N2. Поэтому
