Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Внешнее решение Шварцшильда физически представляет гравитационное поле вне невращающегося сферически-симметричного массивного объекта. Сравнение с ньютоновской теорией (см. Эйнштейн (1916, с. 819), Патриа (1974, с. 217)) показывает, что т можно отождествить с гравитационной массой массивного тела. Внутри тела решение не имеет силы.
Указанная выше форма внешней шварцшильдовской метрики производит впечатление имеющей особенность при г = 2т. Однако это не истинная сингулярность. Внешнее решение Шварцшильда можно аналитически продолжить через поверхность г = 2т.
Крускал (1960) исследовал максимальное аналитическое расширение пространства-времени Шварцшильда. Опуская 0 и ф, можно дать следующее двумерное представление этого максимального расширения (рис. 4.6). 114 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
ограниченную гиперболей, соответствующей Г — 0. Точки этей гиперболы являются истинными сингулярнсстями пространства-времени. Прямые, проходящие под углами ±45° к горизонтальней сси, делят это прсстранстго-ррсмя на четыре области. Область / соответствует внешнему решению Шварцшильда. Область II — «внутренность» невращгющенея черней дыры. Область /' изо-метричгга облаетіг I и е< ответствует другой вселенной по «ту сторену» черной дыры. He существует кривой, которая была бы непрсстранственноподсбной и шла из области I в область /'.
Гравитационное поле вне вращающейся черной дыры не отвечает решению Шварцшильда. Общепризнанным решением уравнений Эйнштейна для вращающихся черных дыр является решение Керра. В координатах Бойера и Линдквиста (t, г, 0, ср) метрики Keppa задаются следующим образом (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 180)):
ds1 = j,3 -I- ей2) L (Га а2) sin2 0 dcp2 -
— dt2 -f {а з in2 0 - dt)2, P
где ()2 -- г + а2 и А --- г2 — 2пгг + а2. Постоянная т представляет собой массу, а постоянная та — угловой момент черной 4.3. Пространства постоянной кривизны
115
дыры (см. Бойер и Прайс (1955), Бойер и Линдквист (1937)). Тотимаду и Сато (1973) привели серию точных решений, которые включают как частный случай решения Керра.
4.3. Пространства постоянной кривизны
Известно, что два лоренцевых многообразия одной размерности, имеющие постоянную секционную кривизну k, локально изометрнчны (см. Вольф (1932, с. 88)). Поэтому любое лоренцево многообразие постоянной нулевой секционной кривизны локально нзометрично пространству-времени Минковского. В этом разделе будут рассмотрены модельные лоренцевы пространства постоянной ненулевой секционной кривизны.
Обозначим через IR" стандартное псевдоевклидово пространство с сигнатурой (—, ..., --, 4-, •¦., 4~), где s отрицательных и п — s положительных собственных значений. Отсюда следует, что псевдоевклидова метрика на F" задается по правилу
s п
ds- = -- dx 4 - S dx'j.
1--=1
В частности, Rj1 есть «-мерное пространство-время Минковского. Для г >0 мы определим также (см. Вольф (1982, разд. 2.4))
SГ = Uc 5<Г': -X21 4 хї - • • • j - xl+l = -2I
и
ЯП i - t-vil-i 0 . 0 2]
1 = [X с R2 : --Xi — X2 -г .T3 • • • Г х„+1 — —г I-
Топологически определенные выше множества эквивалентны соответственно 5" ^ R1 X S"'1, Я" ^ S1 X R'' 1 (см. Вольф (1982, с. 87)). Псевдоевклидова метрика на І41'+1 (соответственно на RsT') индуцирует на 5" (соответственно на Н'\) лоренцеву метрику постоянной секционной кривизны k -= 4~г~2 (соответственно k — —Г2). Пространство-время 5" является лоренцевым аналогом обычного риманова сферического пространства радиуса г и имеет положительную кривизну г"1. Универсальное накрывающее многообразие Я" многообразия Я" топологически эквивалентно R" и поэтому может рассматриваться как лорен-цевый аналог обычного риманова гиперболического пространства отрицательной кривизны —г"2.
Определение 4.1. Пусть S'/ и HtI определены, как указано выше. Тогда Sl называется пространством-временем дг Cummepa (1-го рода), а универсальная накрывающая Н'{ многообразияHnl 116 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
Рис. 4.7. /г-мерное пространство-время де Ситтера с положительной секционной кривизной г~2 является подмножеством пространства-времени Минковского E-J7+1;
Геодези ческие Sj лежзт на пересечении 5^ с плоскостями, проходящими через начало координат F:?41.
называется (универсальным) пространством-временем де Ситтера (2-го рода).
Замечание 4.2.
(а) Si односвязно для п >2, а я, (Sj) = Z.
(б) Sji глобально гиперболично и геодезически полно.
(в) Н'\ нехропологично вследствие того, что у (t) — (г COS t, г sin t, 0, ..., Oj является замкнутой времениподобной кривой. Накрывающее пространство Н\, хотя и является сильно причинным, также не глобально гиперболично.
Пространство де Ситтера, представленное на рис. 4.7, можно покрыть координатами (t, 0, ф), где —оо <^<оо,0<%<л, 0 < 0 < л и 0 < (р < 2я. Здесь t — координата на k, а (%, 0, ф) — координаты на S3 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 140—151)). В этих координатах метрика пространства-времени де Ситтера постоянной положительной секционной кривизны г"2 задается следующим сбразсм:
