Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 55

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 167 >> Следующая


Пространство-время (M', g') называется расширением пространства-времени (A4, g), если (М, g) можно пзометрично вложить в собственное открытое подмножество (M', g'). Пространство-время, не имеющее расширений, называется либо нерасши-ряемым (см. Хокинг и Эллис (1977)), либо максимальным (см. Сакс и By (19776, с. 29)).

Локальное расширение — это расширение подмножества исходного пространства-времени определенного вида. В общем случае локальная нерасширяемость (т. е. отсутствие локальных расширений) влечет глобальную нерасширяемость. В силу того что вопросы расширения естественно связаны с границей пространства-времени, в разд.. 5.4 мы коротко опишем свойства Ь-границы Шмидта и причинной границы Герока—Кронхеймера— Пенроуза. В разд. 5.5 будут определены и изучены два вида локальных расширений. Будет показано, что если лоренцево многообразие не допускает локальных расширений любого из этих двух видов, то оно нерасширяемо. Мы также построим локальное расширение пространства-времени Минковского, показывающее, что, хотя Ь-полнота и вынуждает пространство-время быть (глобально) нерасширяемым, тем не менее она не препятствует его локальным расширениям.

В разд. 5.6 локальные расширения связываются с сингуляр-ностями кривизны. Например, если (М, g) — аналитическое пространство-время, каждая времениподобная геодезическая у: 10, а) -*¦ M которого, непродолжаемая через t = а, либо полна (в том смысле, что а — оо), либо соответствует сингулярности кривизны, то (М, g) не имеет аналитических локальных Ь-гра-ничных расширений.

5.1. Существование максимальных геодезических

сегментов

Цель этого раздела двояка. Во-первых, мы напомним, что для произвольных лоренцевых многообразий геодезическая полнота не обеспечивает существования максимальных геодезических сегментов, соединяющих причинно связанные пары точек. Во-вторых, мы обсудим важный и полезный факт, что в глобально 5.1. Максимальные геодезические сегменты

129

Рис. 5.1. Показано универсальное накрытие двумерного пространства-времени де Ситтера второго рода

M = {О, t): —я/2 < X < я/2},

метрика которого задается формулой ds2 = sec2 * (—df2 + dx1). Точки р и q хронологически связаны в М. Однако максимальной времениподобной геодезической в M из р в і; не существует вследствие того, что все направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из р, фокусируются в г.

гиперболических пространствах геодезические, на которых расстояние реализуется, существуют.

Универсальное накрывающее многообразие (М, g) двумерного пространства де Ситтера 2-го рода может служить примером того, что геодезическая полнота пространства-времени не обеспечивает существования времениподобной геодезической у, которая соединяла бы две произвольные точки р, q ? М, связанные отношением р <С q, и имела длину L (у) = d (р, q) (рис. 5.1). Напомним, что если у — произвольная направленная в будущее времениподобная кривая из р в q, длина которой L (у) = d (р, q), то у можно перепараметризовать во времениподобную геодезическую (см. теорему 3.13). Поэтому тот же самый пример показывает, что существуют геодезически полные пространства, содержащие такие точки р и q, что р <С q, но L (7) < d (р, q) для всех у G ?2Р)(7. Пространство-время (М., g) можно представить в виде полосы М. = \(х, t) G R2: — я/2 <х <я/2[ в R2 с лоренцевой метрикой ds2 = sec2x (— dt2 + dx2) (см. Пенроуз (1972, с. 7)). Точки р и q на рис. 5.1 связаны отношением р q. Однако все направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из р, вновь фокусируются в будущем ВО Bpe-мениподобно сопряженной точке г. Поэтому времениподобных геодезических в M., идущих из р в q, нет. Вследствие этого среди кривых, соединяющих р и q, не существует ни максимальной времениподобной геодезической, ни максимальной времениподобной кривой.

5 Дж. Б ИИ, П. Эрлих 130

Гл. 5. Полнота и расширении

Рассмотрим теперь, какие условия нужно наложить на про-странство-время для того, чтобы любую пар.у точек р, q ? М, где q ? J+ (р), можно было соединить геодезической, реализующей расстояние. Если M = R2 \ {(0, 0)} и имеет лорендеву метрику ds2 = dx2 — dy2, то р = (0, —1) и q = (0, 1) — точки в М, расстояние между которыми d (р, q) = 2 >0, но которые нельзя соединить максимальной времениподобной геодезической. (Нужная геодезическая должна бы быть кривой у (t) = = (0, t), —1 < t < 1, проходящей через выброшенную точку (0, 0).) Правда, сдругой стороны, это пространство-время является хронологическим, сильно причинным и устойчиво причинным. Поэтому имеет смысл ограничиться рассмотрением только класса глобально гиперболических пространств. Тем более что для этих пространств Авез (1963) и Зейферт (1967) показали, что любые точки р, q (z М, связанные отношением р < q, можно соединить геодезической, которая имеет наибольшую длину среди всех направленных в будущее непространственноподобных кривых, идущих из р в q (см. теорему 2.14). На языке определения 3.10 это можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5.1. Пусть (М, g) — глобально гиперболическое пространство-время. Тогда для любых точек р, q ? М, связанных условием q (z J+ (р), существует максимальный геодезический сегмент у t ^p, ?> т- е¦ направленная в будущее непространственноподобная геодезическая у, соединяющая р с q и такая, что L (у) = d (р, q).
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed