Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 54

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 167 >> Следующая


Структура группы Ли на (R, —dt'2), которой мы будем пользоваться, индуцируется обычным сложением вещественных чисел. Соответственно этому будем пользоваться для обозначения «умножения» в группе Ли следующей записью: (a, b) ,—>а -4- b, несмотря на используемое выше обозначение дтя групповой операции. Здесь R представляет собой аналитическое многообразие, определяемое картой /: R -»• R, t (г) = г. Обозначим через dldt соответствующее координатное векторное поле на R. Левые и правые сдвиги La, R1,: IR -»• R задаются формулами Ln (г) == а + г и Ra (г) г + а. Легко проверить, что если v = rKdIdt G TrR, то Lrtv, Rl tV G Та+г (R) задаются по правилу LPtv ¦-= RctfV =

— Xdidt I а+г- Следовательно, —dt2 (Lc j), Lc tv) — —dt2 (Ra,v, Ra,v) —

— —Wdt2 —dt2 (v, v), так что —dt2 и лево-, и правоинвари-антна.

Пусть (G, (, )) — группа Ли с биинвариантной римановой метрикой. Согласно доказанному в предложении 4.13, G является полным симметрическим пространством. Используя формулы (4.3) и (4.4), легко убедиться и в том, что метрика ((,)) -- —dt2 ф (, ) является биинвариантной лоренцевой метрикой на RxG. (Здесь скалярное произведение векторов I1 = (X^d/dt |г, U1) и I2 = = (X2didt\ г, V2), где V1, V2 G TgG, вычисляется по формуле ((I1, E2)) = —X1X2 + g (V1, V2)). Произведение (R х G, ((, ))) глобально гиперболично по теореме 2.54 в силу того, что (G, (, )) — полное риманово многообразие. Таким образом, мы получили следующее утверждение.

Теорема 4.14. Пусть на (R, —dt2) 3adana обычная структура addumuenou группы и (G, ( , )) — произвольная группа JIu с биинвариантной римановой метрикой. Toeda метрика npomeedenua 126

Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий

((,)) = —dt'1 © ( , ) является биинвариантной лоренцевой метрикой для произведения групп Ли RxG- Поэтому (R х G, (( , ))) — геодезически полное глобально гиперболическое пространство-время.

По группам Ли, однородным и симметричным пространствам, оснащенным биппвариантнымн индефинитными метриками, было проведено много исследований, инициированных работой Kap-тана, прежде чем современная теория причинности стала играть столь важную роль в общей теории относительности. Поэтому большая часть этих результатов была получена не для лоренцевых метрик, а для общих псевдоримановых метрик произвольной сигнатуры. Вместо того чтобы делать попытку дать сколь-либо подробный список ссылок, мы обращаем читателя к библиографии в книге Вольфа (1982). Большинство этих исследований связано с проблемой классификации всех геодезически полных псевдоримановых многообразий постоянной кривизны («проблема пространственных форм»). Две недавние работы по псевдоримановой теории групп Ли написаны Кулкарни (1978) и Номидзу (1979). Работа Номидзу посвящена специально лоренцевым метрикам: в ней рассматриваются вопросы существования левоинвариантных лоренцевых метрик постоянной кривизны на некотором классе некоммутативных групп Ли. Глава 5

ПОЛНОТА И РАСШИРЕНИЯ

В гл. 1 мы упоминали о том, что теорема Хопфа—Рииова гарантирует эквивалентность геодезической и метрической полноты для произвольных римановых многообразий. Кроме того, любое из этих условий обеспечивает существование минимальных геодезических, Т. е. ДЛЯ любых двух точек Р, q (с M существует геодезическая из р в q, длина дуги которой равна метрическому расстоянию между этими точками. Если M компактно, то из теоремы Хопфа—Ринова следует также, что все римановы метрики на M полны. Что касается некомпактного случая, то, как установили Номидзу и Одзеки (1961), каждое некомпактное гладкое многообразие допускает полную риманову метрику. Обобщая их доказательство, Moppoy (1970) показал, что полные римановы метрики на M образуют всюду плотное множество в компактно-открытой топологии в пространстве всех римановых метрик на M (см. Фиган и Миллман (1978)).

В первых трех разделах этой главы мы сопоставим (и противопоставим) эти результаты со свойствами геодезической и метрической полноты для произвольных лоренцевых многообразий. В разд. 5,1 разбирается стандартный пример, показывающий, что геодезическая полнота, вообще говоря, не гарантирует существования максимальных геодезических сегментов, соединяющих причинно связанные точки. Напомним, однако, что класс глобально гиперболических пространств этим полезным свойством обладает. В разд. 5.2 мы рассмотрим такие формы полноты, как непространственноподобная геодезическая полнота, полнота ограниченного ускорения (о. у.) и Ь-полнота, которые изучаются в теории сингулярностей общей теории относительности (см. Кларке и Шмидт (1977), Эллис и Шмидт (1977)). Мы также докажем следствие из теоремы 8 Бима (1976а, с. 184), устанавливающее существование непространственноподобно полных метрик для всех различающих пространств. В разд. 5.3 мы исследуем связь между лоренцевой метрической полнотой и конечной компактностью.

В оставшихся четырех разделах этой главы мы рассмотрим расширения и локальные расширения пространства-времени. 128

Гл. 5. Полнота и расширении

Вследствие того что расширение тесно связано с геодезической полнотой, оно играет важную роль в теории сингулярностей общей теории относительности (см. Кларке (1973, 1975, 1976), Хокинг и Эллис (1977), Эллис и Шмидт (1977)). В частности, обычно стремятся избегать исследований пространств, являющихся собственными подмножествами больших лоренцевых многообразий, из-за того что такие собственные подмножества геодезически неполны.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed