Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
я"1 (с) -= [с] X Я является поверхностью Коши многообразия Af0 Xf Н.
Следующим по простоте пространством-временем Робертеона — Уокера после пространства Минковского является статическая вселенная Эйнштейна.
Пример 4.11 (статическая вселенная Эйнштейна). Пусть на M0 = R задана отрицательно определенная метрика —dt2, а на H — S"'1 — стандартная сферическая риманова метрика. Если /: R —»- (0, оо) — тривиальная искривляющая функция, / = 1, то лоренцево многообразие M M0 X f H — M0 X H представляет собой «-мерную статическую вселенную Эйнштейна. В двумерном случае, п 2, M является цилиндром R X S1 с плоской метрикой —dt2 -г dQ'1. Если п ^ 3, то эта метрика для M =- R X X S"-1 уже не плоская вследствие того, что S"-1 имеет постоянную секционную кривизну, равную 1.
В оставшейся части этого раздела мы ограничим наше внимание четырехмерными пространствами Робертеона — Уокера. Согласно замечанию 4.9, это искривленные произведения M0 Xf Я, где (Я, h) — евклидово, гиперболическое, сферическое или эллиптическое пространство размерности 3. В первых двух случаях Я гомеоморфно R3, в третьем случае И ----- Ss, и в последнем Я является вещественным проективным пространством RP3. Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Следствие 4.12. Все четырехмерные пространства Робертеона — Уокера топологически эквивалентны либо R4, либо R X X S3, либо R X RPs.
Согласно замечанию 4.9, секционная кривизна k многообразия (Я, h) постоянна. Если k отлична от нуля, то перенормировкой метрику на M можно привести к виду ds2 -- —dt2 + S2 (t) da2, так что /е равна либо 1, либо —1. Метрики такого вида обычно и изучаются в общей теории относительности.
В физике космологические модели, построенные при помощи четырехмерных пространств Робертеона — Уокера, предполагаются заполненными идеальной жидкостью. Тогда для того, чтобы найти вид указанной выше искривляющей функции S2 (/), используются уравнения Эйнштейна (см. добавление В). Среди тех моделей, которые дает эта техника, есть и космологические модели большого взрыва (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 153—157)). Эти модели зависят от плотности энергии [і и давления р идеальной жидкости, равно как и от космологической постоянной А в уравнениях Эйнштейна. В космологических моделях большого взрыва все непродолжаемые непространственноподобные геодезические неполны в прошлом. Устойчивость этой неполноты при возмущениях метрики будет рассмотрена в разд. 6.3. Астрономические 122 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
наблюдения скоплений г алактик показывают, ч то далекие скопления галактик удаляются от нас. Это расширение вселенной предполагает существование в прошлом «большого взрыва», а также и то, что вселенная является скорее искривленным произведением с нетривиальной искривляющей функцией, а не просто лоренцевым произведением. Наблюдения излучения черных дыр подтверждает эти мысли (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 10)).
4.5. Биинвариантные лоренцевы метрики на группах Ли
Цель этого раздела состоит в том, чтобы показать, как можно использовать теоремы 2.54 и 2.55 разд. 2.6 для построения большого класса групп Ли, допускающих глобально гиперболические биинвариантные лоренцевы метрики.
Сначала коротко изложим некоторые основные факты из элементарной теории групп Ли. Подробности можно найти либо у Милнора (1965, гл. 4; доступное изложение), либо у Хелгасона (1964, гл. 2; изложение, требующее от читателя предварительной подготовки). Группа Ли — это группа G, которая, кроме того, является аналитическим многообразием, так что отображение G / G-^-G, задаваемое по правилу (g, К) ->- gh~l, аналитично. Это умножение индуцирует левые и правые отображения сдвига Lg и Rg для каждого g t- G: Lg (h) ~ gh и Rg (h) - hg. Риманова или лоренцева метрика (, ) на G называется левоинвариантной (соответственно правоинвариантной-), если (Lr„tv, Lfmw) =-= (v, w) (соответственно (Rf,v, Rptw) — (и, nz>)) для всех g ? ? G, v, w f TG. Метрики, являющиеся одновременно и лево-и правоинвариантными, называются биинвариантными. На всякой компактной группе Ли можно задать биинвариантную метрику при помощи процедуры осреднения, использующей меру Xaapa (см. Милнор (1965, с. 122)). Фактически меру Xaapa можно применять для построения биинвариантной римановой метрики на G по любой левоинвариантной римановой метрике для этой группы. Произвольная группа Ли может быть наделена левоинвариантной римановой (или лоренцевой) метрикой путем задания положительно определенного скалярного произведения (соответственно произведения с сигнатурой п — 2) (, )е на касательном пространстве TlG к G в единичном элементе е f G и последующего определения отображения (, ) |g: TgG х TgG —>¦ R по правилу
w)\g = (L8-V' LnlW)le- (4Л)
Таким образом, любая компактная группа Ли снабжается большим набором биинвариантных римановых метрик.
С другой стороны» хотя правило (4.1) и оснащает произвольную группу Ли левоинвариантной лоренцевой метрикой, стандарт- 4.5. Бшнвариантные лоренцевы метрики
123
ная процедура осреднения при помощи меры Хаара, используемая для римановых метрик, не сохраняет сигнатуру (—, +, •¦¦, +), и поэтому ее нельзя использовать для превращения левоин-вариантных лоренцевых метрик в биинварнантные лоренцевы метрики.
