Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
119
в силу единственности геодезической ф (с (/)) — с (—/) для всех t t (а, Ь). Это означает, что длина с \ (a, Oj равна длине с | [0, b). Так как в качестве р можно выбрать любую точку геодезической с, то а = —оо и b = оо. Поэтому (Я, h) геодезически полно. Из теоремы Хопфа — Ринова следует, что для любых двух точек Pi- Pi (z H найдется геодезический сегмент C0 минимальной длины do {рі- Pi)- соединяющий рх и р2. Пусть р — средняя точка сегмента с(). Так как (Я, h) изотропно, то найдется изометрия ф ? f Ip (Я), которая обращает с0. Отсюда следует, что ф (pi) — р2. Значит, (Я, h) однородно. Остается показать, что если точки рх, Qi> Pi- Яг t H- связанные условием d0 (ръ Cjl) -- d0 (р2. q2) >0, заданы, то можно найти изометрию ср {z I (H), для которой Ф (pi) Pi и I1 (iZi) Qi- Выберем минимальные нормальные геодезические C1 из Pi в qx и C2 из р2 в q2. В силу однородности (И, h) существует изометрия г|з f / (H), переводящая pi в р2, 1I' (Pi) Pi- Далее, так как (Я, h) изотропно, то можно найти '1 ? Ipz (H), Для которой тц ((ф ° ci)') (O) = с'2 (0). Отсюда следует, что ф — г) ° \|з — требуемая изометрия.
Предположим теперь, что (Я, h) — двухточечное однородное многообразие. Зафиксируем точку р с H и рассмотрим выпуклую нормальную окрестность U с базой в точке р. Выберем а >0 так, чтобы ехр;) (у) f U для всех v G TpH, подчиняющихся условию h (и, и) < 0. Пусть теперь v, w G T1,H — произвольная пара ненулевых касательных векторов, у которых h (v, v) — == h (w, w) <C cc'2. Положим = exp;,i> и q2 -- Cxpi, w. Тогда
qi, q2 (- U и d (p, <7i) ^lh (v, v) = j h (w, w) - d (p, q2). Поскольку (//, h) двухточечно однородно, найдется изометрия Ф Gl (Я), для которой ф (р) = р и ф (^1) - q2. Следовательно, -— [і1. Из линейности : TpH —у TpH (для любого i] G I1, (H)) вытекает, что Ip (H) действует на SpH транзитивно. Поэтому (Я, h) изотропно в точке р. Так как те же самые рассуждения проходят для любой точки из Я, то многообразие (Я, h) изотропно, как и требовалось. Г]
Следствие 4.8. Всякое изотропное риманово многообразие однородно и полно.
Замечание 4.9. (а) Двухточечные однородные римановы многообразия хорошо известны (см. Вольф (1982, с. 340—348)). В частности, нечетномерные двухточечные однородные (следовательно, изотропные) римановы многообразия — это в точности нечетно-мерные евклидовы, гиперболические, сферические и эллиптические пространства (см. Вонг (1951, с. 473)).
(б) Астрономические наблюдения указывают, что пространственная вселенная приближенно сферически-симметрична вокруг земли. Это подсказывает мысль о том, что вселенную следовало бы120
Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
моделировать трехмерным изотропным рнмановым многообразием. Тогда возникающие здесь возможности ограничиваются евклидовым, гиперболическим, сферическим и эллиптическим пространствами. С другой стороны, если предполагать только локальную изотропию, то возможностей становится существенно больше (см. Мизнер, Торн и Уилер (1977)).
(в) Любое трехмерное изотропное риманово многообразие (Я, h) имеет постоянную секционную кривизну и dim / (H) = 6 (см. Уокер (1944)).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы, используя лоренцевы искривленные произведения и изотропные римановы многообразия, определить пространства Робертсона — Уокера.
Определение 4Л0. Пространство-время Робертсона — Уокера (М, g) — это любое лоренцево многообразие, допускающее запись в виде лоренцева искривленного произведения (M0 Х/Я, g), где M0 = (а, Ь), — оо <а < b < оо, — интервал с заданной на нем отрицательно определенной метрикой —dt2, (Н, h) — изотропное риманово многообразие, a /: M0 —>-(0, оо) — искривляющая функция.
В обозначениях разд. 2.6 имеем g = —dt2 © /h; M0 Xf H топологически эквивалентно произведению M0 X Я. Обозначая через da2 риманову метрику h многообразия Я и полагая S (^) = = Vf (0 . можно переписать лоренцеву метрику g для M0 XiH в более привычном виде:
ds2 = ~di- -f S2 (/) da2.
Отображение я: M0 X4 H ->-К, задаваемое правилом я (/, х) =
t, является гладкой временной функцией на M0 XfH, так что лоренцево многообразие M0 Х/Я из определения 4.10 действительно является (устойчиво причинным) пространством-временем. Кроме того, каждая поверхность уровня я"1 (с) отображения я: M0 XfH —»-M0 GR — это изотропное риманово многообразие, гомотетичное (Я, h). Далее, группу изометрий / (H) многообразия (Я, h) можно отождествить с подгруппой / (H) группы изометрий / (M0 Xf Я) следующим образом. Полагая ср P / (H), определим ф ? / (H) посредством соотношения ф (г, Ь) = = (г, ф (6)), где (г, b) G M0 X Я произвольна. В соответствии с этим определением ограничение / (H) на поверхности уровня я"1 (с) отображения я действует транзитивно на каждой поверхности уровня.
Вследствие того что все изотропные римановы многообразия являются полными, теорема 2.53 позволяет утверждать, что все пространства Робертсона — Уокера глобально гиперболичны. Из теоремы 2.56 известно также, что всякая поверхность уровня4.4. Пространства Робертеона—Уокера 125