Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Для заданных р, q ? U, связанных условием q ? J+ (р, JJ), обозначим через Cpq: [0, 1 I —[/,единственный непространственноподобный геодезический сегмент, у которого
Cpq (0) - р и cpq (1) = q. Тогда D (р, q) = [-g (c'pq (0), c'pq (0)) I1'2
d (g) (P,q)= d (Qg) (p,q)< lim d (Qg) (p, qn),
6 (P, U) }• 3.3. Лоренцева функция расстояния
101
и [D (р, q) I2 = —g (с'рд (0), с'рд (0)). Из дифференцируемой зависимости геодезических от концевых точек в выпуклых окрестностях сразу же вытекает и непрерывность D на U х У, и дифференци-руемость D на U+. ?
Пример пространства-времени Минковского показывает, что D не дифференцируема в направлениях, трансверсальных изотропным конусам, и поэтому не может быть гладкой всюду на UxU.
Нетрудно видеть, что локальная функция расстояния (D, U) однозначно определяет лоренцеву метрику g на U. Следовательно, если [Uu\ —покрытие Af выпуклыми нормальными окрестностями с согласованными локальными функциями расстояния {(Da, Ua)\, то [(Da, Ua)\ однозначно определяет g на Af.
Попробуем теперь охарактеризовать сильно причинные пространства при помощи локальной функции расстояния (см. Бим и Эрлих (1979в, теорема 3.4)).
Теорема 3.27. Пространство-время (М, g) является сильно причинным в том и только в том случае, когда у каждой точки г ? Af есть выпуклая нормальная окрестность U, такая, что локальная функция расстояния (D, U) на U -a U согласуется с функцией расстояния d = d (g): Af X Af —>- R U {оо}.
Доказательство. Если (М, g) сильно причинно и г ? М, то существует выпуклая нормальная окрестность U точки г, такая, что никакая непространственноподобная кривая, которая покидает U, в нее не возвращается. Тогда локальная функция расстояния для U согласуется с d = d (g) | (U х U).
Обратно, предположим, что сильная причинность нарушается в некоторой точке г ? М. Пусть U — выпуклая нормальная окрестность точки г, такая, что D (р, q) = d (р, q) для всех р, q ? U. Существует окрестность WcU точки /', для которой любая направленная в будущее непространственноподобная кривая у: (0, 1 ] —»¦ U, не продолжаемая в U в прошлое и подчиненная условию у (1) G W, содержит точку, не принадлежащую J+ (W, U). Вследствие того что в г нарушается сильная причинность, найдется направленная в будущее времениподобная кривая Y1: [0, 1 ] —*¦ Af, у которой г' = Yi (0) 6 W, Yi (V2) (? U и Yi (1) G W. По построению W существует точка р ? Yi П U, для которой р ф. ф J+ (r', U). Отсюда D (r', р) = 0. В то же время d (г', р) > 0, так как d (r', р) не меньше длины Yi от г' до р. Поэтому D (r', р) Ф-Ф d (г', р). Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы. ?
Следствие 3.28. Если (Af, g) сильно причинно, то d непрерывна в некоторой окрестности диагонали A (Af) = \(р, р): р ^ 102
Г л. 3. Лоренцево расстояние
G М\ произведения M X М. Кроме того, для любой точки т ? ? M существует выпуклая нормальная окрестность U точки т, такая, что d | (Li х U) принимает конечные значения.
Используя лоренцеву функцию расстояния, приведем характеристику глобально гиперболических пространств, выделяющую их из класса всех сильно причинных пространств. Для этого сначала необходимо показать, что обычное определение глобальной гиперболичности можно несколько ослабить. В доказательстве леммы 3.29 для обозначения замыкания мы будем пользоваться символом cl.
Лемма 3.29. Пусть (Al, g) — сильно причинное простран-ство-время. Если множество J+ (р) П J~ (cI) имеет компактное замыкание для любых р, q ? М, то (М, g) глобально гиперболично.
Доказательство. Необходимо показать только, что множество J+ (р) (] J- (q) всегда замкнуто. Пусть г ? cl (/+ (р) П J~ (cI)) \ \ (/+ (р) П J' (<?))• Выберем в J+ (р) П J- (cI) последовательность j/'„[ точек, сходящуюся к г, и возьмем для каждого п направленную в будущее непродолжаемую в будущее непростран-ственноподобную кривую уп: [О, 1) —>- М, подчинив ее условиям P '-¦ Yh (0) и <7* гп Є Yu- Согласно предложению 2.18, существует направленная в будущее непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая y: Ю, 1) —>- M, предельная для последовательности \уп\, причем р -- Y (0). Предельная кривая у не может быть захваченной в будущем никаким компактным подмножеством M вследствие сильной причинности (Al, g) (см. предложение 2.9). Поэтому на Y найдется точка х, удовлетворяющая условию х ф ф cl (J+ (р) П J- (cI))- Определение предельной кривой подразумевает наличие подпоследовательности {Yml последовательности IYhI И точек Xm ? у,„, сходящихся к х. Вследствие того что X t cl (J+ {р) П J- (<?))> для достаточно больших т имеем хт ф ф J+ (р) П J- (<¦])¦ Используя включение Ym c^ J+ (P). получаем, что для больших т хш ф J- (q). Отсюда следует, что для больших т точка q лежит на ут между р и х,п. Обозначим через у \р, х] (соответственно Ym Iр, хт 1) часть Y (соответственно Ym), соединяющую р и X (соответственно хт). Согласно предложению 2.21, МОЖНО считать, переходя, если необходимо, ОТ {Ym [/?> хт~\\ К ее подпоследовательности, ЧТО \ут [р, хт]\ СХОДИТСЯ К Y \.р, х I в C0-топологии на кривых. Из того, что q ? ут \р, хт] для больших т, получаем q ? у [р, х]. Кроме того, из того, что rm->- г и rm < <7, следует включение г ? у (р, q). Поэтому г f /+ (р) f] П J- (<?), что и приводит к требуемому противоречию. П
