Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Сфера радиуса є с центром в точке р ? M задается формулой К (р, є) — {<7 ? М: d (р, q) =- 8?. Это множество не обязательно компактно. Однако из обратного неравенства треугольника и соотношения (3.2) вытекает, что К (р, є) является ахрональным для всех конечных є > 0 и всех р ? М.
В произвольных пространствах внутренний шар будущего (соответственно прошлого) B+ (р, є) — \q ? I+ (р): d (р, q) < є} (соответственно В- (р, є) = \q ? /- (р): d (q, р) < є}) не обязательно открыт. С другой стороны, если функция расстояния d: M X M -> IR U {оо} непрерывна, то эти внутренние шары должны быть открытыми. В разд. 3.3 мы покажем, что для раз- 3.1. Основные понятия и определения
87
Рис. 3.4. Множество В+ (р, е.) = {q ? /+ (р): d (р, q) < к} в прострапстве-вре-мени Минковского не имеет компактного замыкания, не является геодезически выпуклым и не содержит точку р. Более того, множества вида B+ (р, е) не образуют базиса топологии этого многообразия. Однако в общем случае, когда (Al, g) является различающим пространством-временем с непрерывной функцией лоренцева расстояния, то подбазис топологии многообразия образуют множества вида В* (р, е) и В~ (р, 8) (см. предложение .3.31). Отсюда, в частности, следует, что эти множества должны образовывать подбазис исходной топологии пространства-времени Минковского.
личающих пространств с непрерывными функциями расстояния внутренние шары прошлого и будущего образуют подбазис топологии многообразия.
Другой подбазис для топологии любого сильно причинного пространства-времени (М, g) с возможно разрывной функцией расстояния d = d (g): M х M -> R (J ]оо} можно получить, используя вместо внутренних шаров внешние шары O+ (р, є) и О- (р, є).
Определение 3.8. Внешний шар O+ (р, е) (соответственно О' (р, е)) множества I+ (р) (соответственно (/>)) задается следующей формулой:
0+ (р, е) --- Iq Є М: d (р, q) > є}
(соответственно:
О" (р, г) - \q ? М: d (q, р) > е})
(рис. 3.5).
Так как лоренцева функция расстояния полунепрерывна снизу там, где она конечна, то внешние шары O+ (р, є) и 0~ (р, є) в произвольном пространстве-времени открыты. Из обратного неравенства треугольника вытекает следующее свойство: если т, п ? O+ (р, є) (соответственно т, п ? 0~ (р, є)) и т < п, то любая направленная в будущее непространственноподобная кривая из т в п лежит в G+ (р, є) (соответственно в O- (р, є)). Более того, справедливо следующее утверждение. 88
Г л. 3. Лоренцево расстояние
Рис. 3,5. Внешние шары O+ (р, е) = {q ? М: d (р, q) > е} и 0~ (р, &) = {q (z М: d (q, р) ~> є} открыты в произвольном пространстве-времени. Кроме того, O+ (р, е) и 0~ (р, е) всегда являются подмножествами множеств I* (р) и (р) соответственно. Если (М, g) сильно причинно, то внешние шары O+ (р, є) и О- (pt в), где р ? M и в > 0 произвольны, образуют подбазис топологии многообразия.
Теорема 3.9. Пусть (М, g) сильно причинно. Тогда набор (O+ (р, E1) П О- (q, г2): р, q ? M, єь є3 > 0} образует базис исходной топологии многообразия.
Доказательство. Обозначим через U произвольную открытую окрестность точки т ? М. Можно указать локально причинную окрестность U1, для которой т ? Ui cz U, т. е. никакая непространственноподобная кривая, покидающая U1, никогда не возвращается. Выберем ри р2 U1 так, чтобы pL < т < р2 и I+ Ip1) П I" (P2) с U1. В соответствии с хронологическими допущениями относительно pL и р2 получаем, что d (pL, т) > 0 и d (т, р2) > 0. Выберем постоянные E1 и е2, исходя из следующих условий: 0 < є, < d (pL, т) и 0 < E2 < d (т, р2). Тогда т Є G 0+ (ръ г,) П О-(р2, E2). Из включений 0+ (ри E1) с= I+(P1) и О- (р2, E2) cz I- (р2) получаем, что 0+ (/J1, E1) П О- (р2, е2) с= (Pi) П (Рг) U1 U, как и требуется. ?
В полном римановом многообразии любые две точки можно соединить минимальным (реализующим расстояние) геодезическим сегментом. Исследуем теперь соответствующее свойство для пространства-времени.
Хокинг и Эллис (1977, с. 125) называют времениподобную геодезическую 7, соединяющую р и q, максимальной, если ее индексная форма отрицательно полуопределена. Это означает, что если геодезическая 7 не максимальна, то существуют вариации 7, 3.1. Основные понятия и определения
89
которые дают кривые, проходящие из р в q «близко» от у и имеющие лоренцеву длину, большую, чем у 7. Но если 7 максимальна в указанном выше смысле, то никакая малая вариация 7, сохраняющая фиксированные точки р и q, не дает времениподобных кривых 0 из р в q, имеющих лоренцеву длину L (о) > L (7). Тем не менее в M может существовать геодезическая O1, идущая из р в q («далеко» от 7) и такая, что d (р, q) = L (O1) > L (7). Поэтому максимальность, как она определена Хокингом и Эллисом, не означает «максимальности в большом». Чтобы исследовать «максимальность в большом», мы примем на вооружение по аналогии с понятием минимальности в римановой геометрии определение максимальности, привлекая все кривые из пространства путей Qjfj q (см. Бим и Эрлих (1977, определение 1)). Обоснованием нашего определения может служить излагаемая ниже теорема 3.13 (см. Бим и Эрлих (1979а, с. 166)) и ее приложения, в частности построение геодезических как предельных кривых для последовательностей «почти максимальных» кривых (гл. 7) и определение лоренцева множества раздела (гл. 8).
