Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 43

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 167 >> Следующая


Лемма 3.23. (a) d (р, q) > 0 тогда и только тогда, когда

q 6 . (р)¦

(б) Пространство-время (М, g) является полностью искаженным в том и только том случае, когда d (р, q) — оо для любых

р, q 6 At-

(в) Ilространство-время (М, g) является хронологическим в том и только том случае, когда d тождественно равно нулю на диагонали A (Af) \(р, р): р G М\ произведения M х Af.

(г) П ространство-время (М, g) является различающим будущее (соответственно прошлое) в том и только том случае, когда для каждой пары различных точек р, q (z M найдется некоторая точка X ? Af, такая, что в точности одно из расстояний d (р, х) или d (q, х) (соответственно d (х, р) или d (х, q)) равно нулю.

(д) Пространство-время (Af, g) является устойчиво причинным в том и только том случае, когда существует окрестность U метрики ge Сп-топологии на Lor (Af), такая, что d (g') (р, р) = О для всех g' ? U и р (: M.

Доказательство этих свойств проводится аналогично доказательствам леммы 3.2 и замечания 3.3. ?

Напомним, что лоренцева функция расстояния в общем случае не является полунепрерывной сверху. Поэтому непрерывность 3.3. Лоренцева функция расстояния

99

d (g) должна быть как-то связана с причинной структурой (М, g). Примером этого может служить следующий результат, впервые установленный Бимом и Эрлихом (1977, с. 1130). Здесь d считается непрерывной в точке (р, q) ? M ;< М, где d (р, q) — оо, потому что d (рп, qn) -*¦ оо для всех последовательностей рп-*-ри qn —*¦ q (см. лемму 3.4).

Теорема 3.24. Пусть (М, g) — различающее пространство-время. Если d ¦= d (g): MxM-+ К U |оо| непрерывна, то (М, g) причинно непрерывно.

Доказательство. Нужно показать только, что I+ и I- внешне непрерывны. Предположим противное: I+ не является внешне непрерывным. Тогда найдутся компактное множество /(с М\ \ I+ (р) и последовательность рп -*¦ р, такие, что К [} I+ (р„) Ф Ф 0 для всех га. Пусть qn ? К П I+ (/?„), a \qm\ —подпоследовательность последовательности \qn\, такая, что qm сходятся к некоторой точке q компактного множества К. Тогда qm —*¦ q и qm ? ? I+ (Pm) означают, что должна существовать последовательность q'm, сходящаяся к q так, что q'm ? I+ (рт) для любого т. Вследствие того что M \ I+ (р) — открытая окрестность q, найдется г Є M \ /+ (р), подчиненная условию q < г. Тогда q'm С г для достаточно больших т, а отсюда и рт Тем самым

справедливо неравенство d (р,„, г) d (рт, q',n) + d (q'm, г). Используя полунепрерывность снизу расстояния и причинную связь q <С г, получаем 0 < d (q, г) < lim d (q'm, г). Следовательно, d (Pm, г) d (q, г)'2 > 0 для всех достаточно больших т. Однако ввиду того, что г ф. I+ (р), выполняется соотношение d (р, г) = 0, откуда следует, что d (р, г) Ф lim d (рт, г). Таким образом, если d непрерывна, то I+ внешне непрерывно. Аналогичные рассуждения показывают, что I- является внешне непрерывным. Тем самым непрерывность d означает, что (М, g) причинно непрерывно. ?

Причинная непрерывность, напротив, не означает непрерывности лоренцевой функции расстояния. Обозначим через (М, g) пространство-время Минковского с одной выколотой точкой. Пространство-Бремя (М, Qg) будет причинно непрерывным для любого гладкого конформного множителя ?2: M -*¦ (0, оо). Однако Q можно выбрать так, что d = d (Qg) не является непрерывной (рис. 3.6).

Обратимся теперь к описанию сильно причинных пространств при помощи лоренцевой функции расстояния. Определение выпуклой нормальной окрестности было дано в разд. 3.1. Пусть ( М, g) — заданное пространство-время.

Определение 3.25. Локальной функцией расстояния (D, U) на (М, g) называется выпуклая нормальная окрестность U вместе 4* 100

Г л. 3. Лоренцево расстояние

%



P

Рис. 3.6. Обозначим через (М, g) пространство-время Минковского О выброшенной точкой г. Выберем р, q ? M так, чтобы в пространстве-времени Минковского точка г лежала на границе множества I+ (р) f| I" (?). как показано на рисунке. Пусть — последовательность точек, сходящаяся к q, причем такая, что q <С Яп Для каждого п. Существует гладкий конформный множитель Q: M ->-(0, оо), равный единице на I+ (р) f| (?) и такой, что d (Qg) (р, qn)^2d (g) X X (р, q) для каждого п. Вблизи выброшенной точки г функция Q будет неограниченна. Ввиду того что

лоренцева функция расстояния причинно непрерывного пространства-времени (М, Qg) разрывна в точке (р, q) ? M X М.

с функцией расстояния D: U х U —>- R, индуцированной на U пространством-временем (U, g | U).

Более подробно, пусть р, q ? U¦ Тогда D (р, q) = 0 в том случае, если в V не существует направленной в будущее времени-подобной геодезической с концами р и q. В противном случае, D (р, q) равно лоренцевой длине дуги однозначно определенного времениподобного геодезического сегмента в U с концами р и q.

Хронологическое (соответственно причинное) будущее точки •р относительно пространства-времени (JJ, g ] U) будем обозначать через I+ (р, JJ) (соответственно через J+ (р ,U)).

Лемма 3.26. Пусть (М, g) — пространство-время и U — выпуклая нормальная окрестность (M, g). Пусть D: JJ х JJ -*¦ -> R — функция расстояния для (JJ, g | JJ). Тогда D непрерывна на U X U и дифференцируема на U+ = \(р, q) G JJ X JJ'- q G
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed