Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 —- —dt2 г г'1 ch'2 \d%2 -(- sin2x (^02 -і- sin2 0<іф2) ].
Эту формулу можно представить как метрику лоренцева искривленного произведения (см. разд. 2.6). Пусть /: R -*• (0, оо) задается по правилу / (t) = г2 ch2 , a S3 наделено обычной полной римановой метрикой постоянной секционной кривизны 1. Тогда пространство-время де Ситтера, описанное в локальных координатах, как указано выше, является-искривленным произведением (R X S31 —dt2©fh). 4.4. Пространства Робертеона—Уокера
117
Универсальное пространство-время де Ситтера 2-го рода кривизны k = —1 допускает введение координат (/', г, 6, ср), в которых его метрика имеет вид
ds2 - -eh2 г {dt')2 dr2 + sh2 г (dQ2 + sin2 Gdcf2)
(см. Хокинг и Эллис (1977, с. 148, 155)). Рассматривая —(dt')2 как отрицательно определенную метрику на k, a dr2 + sh2 г (dQ2 + + sin2 9<іф2) как полную риманову метрику h постоянной отрицательной секционной кривизны --1 на трехмерном гиперболическом пространстве H — к3, можно представить это пространство-время В виде искривленного произведения (k X j Я, —fdi2 (+; @ h), где искривляющая функция определена на римановом сомножителе H (см. замечание 2.40).
4.4. Пространства Робзртсона — Уокера
В этом разделе мы рассмотрим пространства Робертеона — Уокера с точки зрения лоренцевых искривленных произведений. Эти пространства включают в себя такие космологические модели общей теории относительности, как статическую вселенную Эйнштейна и большой взрыв. Чтобы привести точное определение пространства-времени Робертеона — Уокера, необходимо сначала напомнить некоторые понятия из теории двухточечных однородных римановых многообразий и изотропных римановых многообразий.
Пусть (Я, h) — риманово многообразие. Обозначим через / (H) группу изометрий многообразия (Я, h), а через d0: Я X X H -»- к его риманову функцию расстояния.
Определение 4.3. Риманово многообразие (Я, h) называется однородным, если группа / (H) действует на Я транзитивно, т. е. для любых двух точек р, q k Я существует изометрия ср ? / (H), переводящая р в q: q = ф (р). Далее, (Я, h) называется двухточечным однородным, если для любых точек ръ ^1, р2, q2 ? Я, связанных соотношением d0 (ps, q) — d0 (p2, q2), существует изометрия Ф ? I (H), такая, что р2 = ф (P1) и q2 ф ^1).
Поскольку точки pi, qx, р2, q2 можно выбрать так, что pt — = qit і = 1, 2, то двухточечное однородное риманово многообразие является также и однородным. Впервые двухточечные однородные пространства изучались Буземаном (1942) в более общей ситуации локально компактных метрических пространств. Вонг (1951, 1952) и Тите (1955) дали классификацию двухточечных однородных римановых многообразий.
Заметим, что в определении 4.3 не требуется, чтобы риманово многообразие (Я, h) было полным. Тем не менее однородные римановы многообразия всегда полны. 118 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
Лемма 4.4. Если (II, h) — однородное риманово многообразие, то (H, h) полное.
Доказательство. Согласно теореме Хопфа — Ринова, достаточно показать, что многообразие (Я, h) является геодезически полным. Предположим, что с: [а, 1) —»- Я — нормальная геодезическая, непродолжаемая в / = 1. Взяв в Я произвольную точку р, можно найти постоянную а >0, такую, что любая нормальная геодезическая, исходящая из точки р, имеет длину Положим б — mill (ос 2, (1 — а) 2) >0. Из того, что изометрни сохраняют геодезические, и из однородности (Я, h) вытекает, что любая нормальная геодезическая, исходящая из точки г (1 —- б), может быть продолжена ДО геодезической длины Г-ї;2б. В частности, с можно продолжить до геодезической с: fa, 1 І б) -+-II, что противоречит непродолжаемости с в / I-Ll
Замечание 4.5. Важно отметить, что утверждение леммы 4.4 для лоренцевых однородных многообразий в общем случае неверно (см. Вольф (1982, с. 118), Марсден (1973)).
Напомним теперь понятие изотропного риманова многообразия. Для заданной точки р t (Я, h) изотропная группа Ip (H) многообразия (Я, h) в точке р определяется как замкнутая подгруппа I1, (H) -- |ф t I (H), ф (р) — рI группы / (H), состоящая из всех изометрий многообразия (Я, h), сохраняющих точку р. Дифференциал фя произвольной изометрии ф ? IvH отображает TpH на TpH вследствие того, что ф (р) — р. Так как h (ф*і>, Ф*?>) — h (и, v) для любого v ? TpH, то дифференциал ф^ отображает единичную сферу SpH \v ? TpH: h (и, и) 11 в TpH также на себя.
Определение 4.6. Риманово многообразие (Я, h) называется изотропным в точке р, если Ip (H) действует транзитивно на единичной сфере SpH касательного пространства TpH, т. е. для любых и, w t SpH существует изометрия ф ^ Ip (H), для которой -- w. Риманово многообразие (Я, h) называется изотропным, если оно изотропно в каждой точке.
Покажем теперь, что класс изотропных римановых многообразий совпадает с классом двухточечных однородных римановых многообразий (см. Вольф (1982, с. 340)).
Предлэжение 4.7. Риманово многообразие (Я, h) изотропно тогда и только тогда, когда оно двухточечно однородно.
Доказательство. Напомним, что через d0 обозначена риманова функция расстояния многообразия (Я, h). Предположим сначала, что (Я, h) изотропно. Тогда для каждой точки р (z H и любой непродолжаемой геодезической с: (а, Ь) -»- Я, с (0) = р, найдется изометрия ф ? Ip (H), для которой ф*с'(0) --= —с' (0). Отсюда 4.4. Пространства Робертеона—Уокера
