Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. 3. Лоренцево расстояние
ги г2 Є U (р) так, чтобы rt р < г2. Ясно, что q ф I+ (гг) П П I* (г,). Согласно лемме 3.19, из / (T1) / (р) -= / (q) < / (г2) вытекает, что rx С <7 С г,. Это означает, что q ^ I+ (rx) П І~(г-Ї)> и требуемое противоречие лолучено. ?
Прилагая результаты леммы 3.20 Kfaf1, получим
Предложение 3.21. Пусть (Мъ g!) — сильно причинное пространство-время, (M2, g2) — произвольное пространство-время и f — не обязательно непрерывное отображение M1 на M2. Если f является гомотетично преобразующим расстояние, то f — гомеоморфизм и (M2, g2) сильно причинно.
Доказательство. Отображение /-1 существует в силу того, что по лемме 3.20 / взаимно однозначно. Более того, непрерывно, так как по той же лемме 3.20 отображение / открыто.
Чтобы завершить доказательство, достаточно убедиться в том, что M2 сильно причинно, так как тогда в силу леммы 3.20 можно утверждать, что /-1 — открытое отображение и, следовательно, / непрерывно. Взяв р' ? M2, положим р = /-1 (р'). Если г' С р' С q', то, применяя лемму 3.19 к отображению /-1, гомотетично преобразующему расстояние, получаем, что /-1 (г') <С « р « /л (q). Пусть (]' Ip') — открытая окрестность точки р'. Выберем V' (p') сі U' (р') так, чтобы замыкание V (р') было компактным множеством, вмещающимся в открытую выпуклую нормальную окрестность W' (р') точки р'. Можно считать, что (W' (p'), g21 W' (p')) глобально гиперболично. Пусть \г'п\ и \q'n\ — последовательности в V (р'), сходящиеся к р', г,'г —*¦ р', qn —*¦ р', и такие, что г'п <<С р' <<( q'n для всех п. Предположим, что сильная причинность M2 нарушается в точке р'. Это означает, что для каждого п множество /+ (г'п) П I~ (Qn) не может содержаться в выпуклой нормальной окрестности W' (р'), так как в противном случае множества /+ (г',,) Л /- (q'„) дали бы произвольно малые окрестности точки р', которые каждая непространственноподобная кривая пересекает самое большее один раз. Выберем последовательность точек \z'n\, содержащихся в границе V (р') и таких, что z'n f ? /+ (г',,) П 1~ (Qn) Для каждого п. Последовательность \г'п\ имеет точку накопления г, потому что замыкание V (р') компактно. Кроме ТОГО, /-1 (Zn) Є f-1 (I+ (г'п) Л I- (q'n)) = I+ (/-1 (г'п)) Л Л I- (f-1 (q'n)). Непрерывность /-1 означает, что /-1(/7,) р и f-1 (q'n) -*¦ q, а сильная причинность приводит к тому, что множества /+ (/-1 (г'п)) Л I-1 Cf-1 (яп)) подходят близко к точке р. Поэтому f~l (z'n) р, откуда следует равенство f-1 (г) = р = f-1 (р'), которое противоречит взаимной однозначности /-1. Следовательно, M2 обязано быть сильно причинным, и предложение доказано. ? 3.2. Изометрические и гомотетические отображения
95
Рассмотрим сильно прнчинное пространство-время М. Возьмем р^М и построим ее выпуклую нормальную окрестность U (р). Множество U (р) можно выбрать столь малым, что если q, г ? ? U (р) и связаны отношением q < г, то расстояние d (q, г) равно длине единственного геодезического сегмента a (q, г) с концами q и г, лежащего в U (р). Более того, U (р) можно выбрать так, что если q, z, г ? U (р) связаны соотношением « г г, то обратное неравенство треугольника d (q, г) ^s d (q, z) + d (z, г) обращается в точное равенство тогда и только тогда, когда г лежит на геодезическом сегменте с концами q и г, лежащем в U (р). Таким образом, времениподобные геодезические в сильно причинном пространстве-времени описываются при помощи функции расстояния, а отображения, гомотетично преобразующие расстояния, переводят времениподобные геодезические во времениподобные геодезические.
Лемма 3.22. Если отображение f, гомотетично преобразующее расстояние, определено на сильно причинном пространстве-времени, то / переводит изотропные геодезические в изотропные геодезические.
Доказательство. Пусть U (р) — выпуклая нормальная окрестность точки р, выбранная, как и в абзаце, предшествующем формулировке леммы, достаточно мала, так что / (U (р)) лежит в выпуклой нормальной окрестности точки / (р). Пусть далее a (q, г) — изотропная геодезическая в U (р). Выберем qn-*-q и гп —>- г, связанные отношением qn гп, где п любое. Тогда из предложения 3.21 вытекает, что / (qn) -*- f (q) и / (rn) -»- f (г). Отображение / переводит времениподобную геодезическую a (qn, гп) с концами qn и гп во времениподобную геодезическую а (/ (qn), f (гп)). Вследствие сходимости геодезических a (qn, rn) к a (q, г) и геодезические а (/ (qn), f (гп) сходятся к а (/ (q), f (г)). Это означает, что / отображает a (q, г) в а (/ (q), f (г)). ?
Доказательство теоремы 3.17. То, что / — диффеоморфизм, вытекает из результата, доказанного Хокингом, Кингом и Маккартни (1976), которые установили, что гомеоморфизм, переводящий изотропные геодезические в изотропные геодезические, должен быть диффеоморфизмом. Вследствие сильной причинности M1 и M2 для каждой точки р ? M1 существует выпуклая нормальная окрестность U1 (р), такая, что для точки q ^ U1 (р), подчиненной условию р q, длины времениподобных геодезических а (р, q), соединяющих р с q, и a (/ (р), f (q)), соединяющих / (р) с / (q), соответственно равны dx (р, q) и d2 (/ (р), f (q)). Из того, что d2 (/ (р), f (q)) = с dx (р, q), вытекает, что / отображает gx на тензор c~2g. ? 96
