Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пространство-время Минковского описывает одновременно и геометрию специальной теории относительности, и геометрию, индуцированную на каждом фиксированном касательном пространстве произвольного лоренцева многообразия. Тем самым геометрия Минковского играет для лоренцевых многообразий такую же роль, как евклидова геометрия для римановых многообразий. Иногда пространство-время Минковского называют плоским пространством-временем. Однако обычно плоским называют любое лоренцево многообразие, тензор кривизны которого тождественно равен нулю.
Пространства Шварцшильда представляют собой сферически-симметричные пространственно-временные многообразия, пустые вне невращаюіцихся сферически-симметричных тел. Вследствие того что солнца и планеты предполагаются медленно вращающимися и приближенно сферически-симметричными, пространства Шварцшильда можно использовать при моделировании гравитационных полей вне этих тел. Эти же пространства можно использовать также и при моделировании гравитационных полей вне мертвых (т. е. невращающихся) черных дыр. Обычные координаты для шварцшильдовского решения вне массивного тела — (/, г, 0, ф), где і играет роль времени, а г — радиуса (см. Сакс и By (1977а, гл. 7)). Эта метрика имеет специальный, тесно связанный с ней радиус г = 2т. Точки, радиус которых равен г ----- 2т, соответствуют поверхности черной дыры. Сразу же приходит в голову мысль, что при г = 2т метрика имеет особенность. Однако теперь хорошо известно, что обычная метрика Шварцшильда с г > 2т может быть аналитически продолжена на точки, для которых О <С г <С 2т. В действительности существует максимальное аналитическое расширение пространства-времени Шварцшильда (см. 108 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
Крускал (1960)), которое содержит другую вселенную, лежащую по «ту сторону» черной дыры.
Гравитационные поля вне вращающихся черных дыр, несомненно, соответствуют пространствам Keppa (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 180, 361)). Эти пространственно-временные многообразия представляют собой стационарные осесимметричные метрики вне вращающихся объектов. Пространства Keppa и Шварцшильда являются асимптотически плоскими и соответствуют мирам, которые пусты, за исключением одного массивного тела. Поэтому, хотя эти метрики можно рассматривать как допустимые модели вблизи заданного единственного массивного тела, их нельзя использовать в качестве крупномасштабных моделей для вселенной со многими массивными телами.
Обычные космологические модели «большого взрыва» строятся на пространствах Робертеона — Уокера. Пространственно-временные многообразия такого типа расслаиваются на специальное множество пространственноподобных гиперповерхностей так, что каждая гиперповерхность соответствует одному моменту времени. Группа изометрий / (M) пространства-времени Робертеона — Уокера (М, g) на этих гиперповерхностях постоянного времени действует транзитивно. Поэтому вселенные Робертеона — Уокера пространственно однородны. Более того, они пространственно изотропны в том смысле, что для каждой точки р ^ M подгруппа группы изометрий / (M), сохраняющая р, транзитивна на направлениях из р, касательных к проходящей через р гиперповерхности постоянного времени. При рассмотрении пространств Робертеона — Уокера мы будем использовать лоренцевы искривленные произведения M0 XfH, описанные в разд. 2.6. Космологические допущения на вселенные Робертеона — Уокера означают, что (Я, h) — изотропное риманово многообразие. Следовательно, классификация двухточечных однородных римановых многообразий дает и классификацию всех пространств Робертеона — Уокера. Мы также покажем, как можно приспособить результаты разд. 2.6 для построения групп Ли с биинвариантными глобально гиперболическими лоренцевыми метриками.
4.1. Пространство-время Минковского
Пространство-время Минковского — это многообразие M = = К" вместе с метрикой
и
ds — —dx\ + S dxj.
і =2
Это пространство-время ориентировано во времени векторным полем дідхі. Оно является также глобально гиперболическим 4.1. Пространство-время Минковского
109
7^E + (P)
E-(P)
Рис. 4.1. Пусть (М, g) — пространство-время Минювского. Изотропный конус в точке р имеет полость будущего и полость прошлого. Полость будущего (соответственно прошлого) является также контуром будущего E+ (р) (соответственно прошлого Е~ (р)) точки р. Хронологическое будущее Ґ (р) — открытое выпуклое множество с границей E+ (р). В более общих пространствах /f (р) может не быть выпуклым, но оно обязательно открыто.
и в силу этого удовлетворяет всем условиям причинности, рассмотренным в разд. 2.2.
Геодезические пространства-времени Минковского в точности совпадают с прямыми линиями евклидова пространства IRn, а аффинная параметризация этих геодезических в пространстве Минковского пропорциональна обычной евклидовой параметризации в R" длиной дуги. Изотропные геодезические, проходящие в пространстве Минковского через заданную точку р, образуют конус вращения с вершиной р. В частности, направленные в будущее изотропные геодезические, исходящие из р, образуют одну полость изотропного конуса. Эта полость является в R'1 границей открытого выпуклого множества, которое представляет собой не что иное, как хронологическое будущее I+ (р) точки р. В пространстве Минковского причинное будущее J+ (р) точки р совпадает с замыканием I+ (р). Контур будущего E+ (р) — J+ (р) \ \ J+ (р) — это полость изотропного конуса в точке р, соответствующая будущему (рис. 4.1).
