Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. 3. Лоренцево расстояние
Хорошо известно, что если полное риманово многообразие не является локально плоским, то оно не допускает гомотетических отображений на себя, отличных от изометрий (см. Кобаяси и Ho-мидзу (1981, с. 228, лемма 2)). Существенным местом в доказательстве этого факта является обоснование того, что любая гомотетия произвольного полного риманова многообразия, отличная от изометрии, имеет единственную неподвижную точку. Это можно сделать, применяя неравенство треугольника к римановой функции расстояния и используя метрическую полноту произвольного геодезически полного риманова многообразия.
Принимая во внимание теорему 3.17, интересно рассмотреть аналогичный вопрос о существовании гомотетических преобразований лоренцева многообразия, отличных от изометрических (см. Бим (19786)). Ниже мы будем использовать стандартную терминологию, называя гомотетические преобразования, отличные от изометрических, собственными.
Заметим сначала, что R2 с лоренцевой метрикой ds2 = dxdy представляет собой пример глобально гиперболического геодезически полного пространства-времени, которое допускает собственное гомотетическое преобразование без неподвижных точек. Для произвольного фиксированного ?Ф О и произвольно выбранного с > О отображение / (х, у) = (х + ?, су) является гомотетическим отображением без неподвижных точек с коэффициентом гомотетии с. Поэтому в отличие от риманова случая для геодезически полных лоренцевых многообразий у собственно гомотетического отображения должно предполагаться наличие неподвижной точки.
Предположим, что / является собственно гомотетическим преобразованием пространства-времени (М, g), так что / (р) = р для некоторой точки р ? М. Тогда : TpM ->¦ TvM имеет по крайней мере один непространственноподобный собственный вектор (см. Бим (19786, с. 319, лемма 3)). Однако этот собственный вектор может быть изотропным. Например, соединяя лоренцеву изометрию
F (х, у) = (х ch t + у sh t, X sh t + у ch t),
где t > О фиксировано, многообразия (R2, ds2 = dx2 — dy2) и растяжение T (х, у) = (сх, су), с > 0, с Ф 1, получим собственное гомотетическое преобразование / пространства-времени Минковского, сохраняющее начальную точку, так что /*(0 0) имеет изотропные собственные векторы.
Но если : TpM -у TpM — собственно гомотетическое преобразование, имеющее времениподобный собственный вектор с собственным значением А. < 1, то можно показать, что (М, g) является пространством-временем Минковского (см. Бим (19786, с. 319, 3.2. Изометрические и гомотетические отображения
97
предложение 4)). Также если f ¦— гомотетическое преобразование с неподвижной точкой р и такое, что все собственные значения f^ вещественны и по абсолютной величине меньше единицы, то (М, g) является пространством-временем Минковского (см. Бим (19786, с. 316, теорема 1)).
Приведем пример неплоского пространства-времени, допускающего глобально гомотетическую деформацию. Пусть на M =
— R3 задана метрика g = ds2 = cxzdxdy -f dz2. Тогда если
д , . д , д - д . г д , - д
v — a—z— --о—,—г-с——, w а —— - о—--- с——
ох Oy dz дх 1 оу Oz
суть касательные векторы в точке (х, у, г), то
~ / \ „ ab + аб _
g(v, w) =^exz-T1---j-C-C.
Нетрудно проверить, что, хотя (М, g) и неплоское, преобразование фг: (R3, ds2) —>- (R3, ds2), задаваемое формулой
фг (х, у, г) = (е'х, е-3'у, е~*г),
ЯВЛЯеТСЯ собственно ГОМОТеТИеЙ, у КОТОРОЙ g (ф/,1>, ф t^w) =
= e~2tg (V, w) для каждого фиксированного t Ф 0.
Однако сейчас мы покажем, что это пространство-время изотропно геодезически неполно. Пусть X = д'дх, Y = dldyji Z =
— д/дг. Тогда все скалярные произведения, кроме g (X, Y) = = ехгі2, g (Z, Z) = —1, обращаются в нуль и \Х, Y I= IX, ZI = O. Отсюда, используя соотношение
2g (Vt/V, W) = Ug {V, W) + Fg (U, W) - rg (U, V) + g (IU,
l/1, W) -g (IU, W], V) -g(\V, WI, U),
получим для связности Леви-Чивита пространства-времени следующие формулы:
VxX = zX, VyY = \zZ = 0, = VxZ = ArX, VrZ = ArY.
Таким образом, отличными от нуля являются только следу-
ющие символы Кристоффеля: Г,1, = г, Г?2 = Г21 --i~eXZ> Fj3
4
= Гз] — V22i = Г32 = —¦ Отсюда следует, что есл и у (t) =
— (х (t), у (t), г (t)) — геодезическая, то обычная система дифференциальных уравнений второго порядка
2 1^Y <0
d4h ! V eixL_о
dt* ^ Zj 4 r v' dt dt і. і
4 Дж. Бим, П. Эрлих 98
Г л. 3. Лоренцево расстояние
для Y сводится к следующей системе: х" + г (х'у2 + xx'z = О, у" + Xij z = О,
г--хх У ~ О •
Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что у: (—1, оо) —>- (S\3, ds2), задаваемая по правилу Y (0 = Cn (1 + + t), 0, 1), удовлетворяет этой системе дифференциальных уравнений, и, значит, существует единственная изотропная геодезическая, у которой у' (0) — d dx |(о, о. о- Поэтому пространство-время (К3, ds2) изотропно геодезически неполное.
3.3. Лоренцева функция расстояния и причинность
В этом разделе мы исследуем связь между причинной структурой многообразия (M, g) и непрерывностью и конечностью лоренцевой функции расстояния d-d (g): M хМ->-К U {оо} для этого многообразия. Наиболее простые свойства, включая утверждение сформулированной выше леммы 3.2, собраны в следующей лемме. Напомним, что через Lor (Af) обозначено пространство всех лоренцевых метрик на М. C0-топология на Lor (M) определена в разд. 2.2.
