Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
105
в (М, g), а если q ? J+ (р, N), то р < q в (Al, g). Поэтому из определения d и d немедленно следует, что
d (т, га) < d (т, п) для всех т, га ? N. (3.4)
Используем сделанное замечание для доказательства следующего результата.
Предложение 3.32. Пусть (N, g) — вполне геодезическое вре-мениподобное подмногообразие сильно причинного пространства-времени (Л'1, g). Тогда для любой точки р ? N можно указать в N ее окрестность V, такую, что d | (V х V) ~ d | (V х V).
Доказательство. Пусть W -— выпуклая окрестность точки р в (М, g), каждую пару точек которой можно соединить единственной геодезической в (М, g), лежащей в W, а если эти точки т, п ? W связаны отношением т < га, то эта геодезическая будет максимальной в (М, g). Тогда можно выбрать меньшую окрестность V0 точки р в М, лежащую в W, V0 cz W, и такую, что если V — V0 П N, то V содержится в выпуклой нормальной окрестности U точки р в N, причем U cz W.
Предположим сначала, что т, п G Vn п ? J+ (т, N). Ввиду того что VcU, найдется непространственноподобная геодезическая у в (N, g), соединяющая в U т и га. Так как подмногообразие N вполне геодезическое, то у является непространственно-подобной геодезической в (М, g). Вследствие того что у содержится в UaW, она максимальна в (Al, g). Поэтому d (т, га) L (у) = = L (у) = d (т, га). Из соотношения (3.4) получаем равенство d (т, га) = d (т, га), как и требовалось.
Остается рассмотреть случай, когда т, га ? V и га ф. J+ (т, N). По определению получаем, что d (т, га) — 0. Предположим, что d (т, га) > 0. Тогда найдется времениподобная геодезическая Y1 многообразия (М, g), связывающая т и п в W. С другой стороны, из того, что т, га ? U, вытекает существование геодезической Y2 многообразия (N, g), соединяющей т и га в U и являющейся пространственноподобной вследствие условия га ф J+ (т, N). Так как (N, g) вполне геодезическое, то Y2 является также пространственноподобной геодезической (М, g), связывающей т и га в U cz cz W. Таким образом, у нас есть две различные геодезические Yx и Y2 из т в га в W, что противоречит условию. Отсюда следует, что d (т, га) = 0 = d (т, га), как и требовалось. ?
Докажем теперь обращение предложения 3.32.
Предложение 3.33. Пусть (N, g) — времениподобное подмногообразие сильно причинного пространства-времени (М, g). Предположим, что для любой точки р ? N в N существует ее окре- 106
Г л. 3. Лоренцево расстояние
стность V, такая, что d | (V X V) -- d | (V х V). Тогда (N, g) является вполне геодезическим в (М, g).
Доказательство. Достаточно зафиксировать точку р (z N и показать, что вторая фундаментальная форма Sn в точке р обращается в нуль (см. определение 2.35). Так как любой касательный вектор из TvN можно представить в виде суммы непростран-ственноподобных касательных векторов, то достаточно показать, что Sn (V, ю) —- 0 для всех непространственноподобных касательных векторов из TvN. А так как —Sn (—v, w) = Sn (v, w), то можно ограничиться рассмотрением только направленных в будущее касательных векторов из TvN.
Пусть V ? TvN — направленный в будущее непространствен-ноподобный касательный вектор. Обозначим через у единственную геодезическую в (N, g), у которой у' (0) - v. Пусть далее V — окрестность точки р в N, на которой функции d и d совпадают. Выберем t >0 так, что если т —- у (t), то m ? Vnd (р, т) — -- L (у I 10, Л) < оо. Тогда получим
d (р, т) L (v| Ю, /]) ¦= Г (у 110, t\) - d (/;, т).
ITo так как т V, то d (р, т) — d (р, т) и, значит, L (у |0, 11) -- d (р, in). Отсюда по теореме 3.13 получаем, что у 10, t І — геодезическая в (М, g). Таким образом, мы показали, что если V ^ TvN — произвольный направленный в будущее касательный вектор, то геодезическая в (М, g) с начальным направлением v является также геодезической и в (N, g) вблизи р. Следовательно, Sn (V, v) — 0 для всех направленных в будущее непространственноподобных касательных векторов. Так как сумма двух непараллельных направленных в будущее непространственноподобных векторов является направленной в будущее н времепиподобной, то, переходя к билинейной форме Sn (V, w), полярной Sn (у, V), получим, что S11 (V, w) - 0 для всех направленных в будущее непространственноподобных касательных векторов v, w f TvN, как и требовалось. H
Объединяя предложения 3.32 и 3.33, получаем следующую характеристику вполне геодезических времениподебных подмногообразий сильно причинных пространств в терминах лоренцевой функции расстояния.
Теорема 3.34. Пусть (M, g) — сильно причинное пространство-время размерности ^2. Предположим, 4tno(N, i*g)—гладкое времениподобное подмногообразие (М, g), т. е. g = i*g — лоренцева метрика на N. Тогда (N, g) является вполне геодезическим в том и только том случае, когда у любой точки р ? N есть окрестность VeN, такая, что лоренцевы функции расстояния d на (N, g) и d на (M, g) равны на V X V. Глава 4
ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
В эгоп главе мы приведем большое количество IipiLVeihjb пространственно-временных многообразий. Некоторые из них интересны как с физической, так и с математической точки зрения. В частности, пространство-время Минковского, пространства Шварцшильда, пространства Keppa и пространства Робертсона --Уокера имеют важные физические интерпретации.
