Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что по определению 3.6 пространство-время (М, g) удовлетворяет условию конечности расстояния тогда и только тогда, когда d (g) (р, q) < оо для всех р, q ? M- Это условие 3.3. Лоренцева функция расстояния 103
можно применить для того, чтобы выделить глобально гиперболические пространства среди всех сильно причинных пространств (см. Бим и Эрлих (19796, теорема 3.5)).
Теорема 3.30. Сильно причинное пространство-время (М, g) является глобально гиперболичным тогда и только тогда, когда (М, g') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех g' 6 С (М, g).
Доказательство. Ранее уже было замечено (см. следствие 3.7), что если (М, g) глобально гиперболическое, то все метрики в С (/И, g) удовлетворяют условию конечности расстояния.
Обратно, допустим, что (М, g) не является глобально гиперболическим. Из леммы 3.29 вытекает, что существуют точки р, q ? М, для которых множество J+ (р) П J' (q) ие имеет компактного замыкания. Пусть h вспомогательная геодезически полная положительно определенная метрика на Л4, и пусть d0: M а Al -*¦ — риманова функция расстояния, индуцированная на M метрикой /г. Ilo теореме Хопфа — Ринова все подмножества М, ограниченные относительно d0, имеют компактные замыкания. Поэтому J+ (р) П J' (<?) неограниченно. Отсюда заключаем, что для каждого п можно выбрать р„ ? J+ (р) П J- (ч) так, что do (Р> Pn) > п• Возьмем р' и q'. связанные условием р' <|/ р ^C <</ q <// <?'> и покажем, что существует конформный множитель Q, такой, что d (Qg) (р , q') = оо. Для каждого п > 1 в качестве уп выберем направленную в будущее времениподобную кривую из р' в рп так, что уп [1/2, 3/4 ] с |г с М: л — 1 < d0 (р, г) < п\. Обозначим через Qn: M к гладкую функцию, обладающую следующими свойствами: Qn (х) — 1, если х ф \r: п — 1 < d0 (р, л)< < п|, и длина уп [1/2, 3/4] в метрике Qng больше п. Пусть Q -= IIQn. Это бесконечное произведение на M корректно определено вследствие того, что для каждого X /И самое большее один из множителей Qn отличен от единицы. Тогда получаем, что d (Qg) (//, рп) > я для каждого я > 1. Из того, 4Tod (Qg) (p',
d (Qg) (p', рп) + d (Qg) (рп, q') выполнено для любого я, вытекает соотношение d (Qg) (//, q') — оо. ?
Обратимся теперь к доказательству того, что для различающего пространства-времени с непрерывной функцией расстояния внутренние шары будущего и прошлого образуют подбазис исходной топологии многообразия. Напомним, что
B+ (р, е) = \q Є /+ (р)-. d (р, q) < е} = \q ? М: 0 < d (р, q) < е}
И В~(р, є) = \q (Е I-(p): d (q, p)<b\ = \q Є М: 0<d (q, p)<fj.
Поэтому, определяя ft: M —>¦ IR для і -= 1, 2 соотношениями /і (<?) = d (р, q) и f2 (q) = d (q, р), получаем, что В+ (р, е) = 108
Г л. 3. Лоренцево расстояние
---= /Г (0, е) и В' (р, е) = /21 (0, е). Отсюда вытекает, что если функция расстояния для (М, g) непрерывна, то внутренние шары B+ (р, е) и В- (р, а) открыты в топологии многообразия М.
Предложение 3.31. Пусть (M, g) — различающее пространство-время с непрерывной функцией расстояния. Тогда набор {B+ (р, B1) П В- (і/, E2): р, q ? М, E1, E2 > OJ образует базис исходной топологии многообразия.
Доказательство. Соображения, изложенные выше, показывают, что множества вида B+ (р, e1) П В~ (q, e2) открыты в топологии многообразия. Поэтому достаточно показать, что для произвольной точки г t Mn произвольной ее окрестности U (/¦), открытой в топологии многообразия, существуют точки р, q ^ M и числа e1, e9 > 0, для которых выполняется соотношение г ? е в- {р, e1) гї В- (q, e2) с U (г).
Теорема 3.24 обеспечивает причинную непрерывность (М, g), а, следовательно, также и сильную причинность. Поэтому можно выбрать выпуклую нормальную окрестность V cz U (г) точки г, такую, что никакая непространственноподобная кривая, покидающая V, никогда в нее не возвращается и d: V х V -»¦ К U |оо} принимает только конечные значения (см. следствие 3.28). Зафиксируем р, q t V, связав их с г соотношением р ^ г С <?• Тогда г t (р) П I~ (q) с V вследствие того, что никакая непространственноподобная кривая из р в q не может покинуть V и вернуться. Полагая e1 = d (р, г) + 1 и e2 =-- d (г, q) H-- 1, получим
/• С- Ь+(р, E1) п В" (Cl, E2) с I+(P) п /-(?) С I/ С-U (г).
Из этого соотношения получаем требуемое. ?
Мы заключим этот раздел описанием вполне геодезических времениподобных многообразий при помощи лоренцевой функции расстояния. Аналогичный результат имеет место и для подмногообразий (не обязательно полных) римановых многообразий (см. Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 177)).
Пусть (М, g) — произвольное сильно причинное пространство-время. Рассмотрим гладкое подмногообразие i: N M и положим g =-- t*g. Напомним, что (N, g) называется времениподобным подмногообразием (М, g), если g |р: TpN х TpN ->¦ R является лоренцевой метрикой для каждой точки р ? N. Как обычно, мы будем отождествлять N и і (N). Пусть L, L и d, d — функционалы длины дуги и лоренцевы функции расстояния на (N, g) и (М, g) соответственно. Тогда, если у — гладкая кривая в (N, g), то L (у) = L (у). Заметим также, что если q ? I+ (р, N), то р q 3.3. Лоренцева функция расстояния
