Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пространство-время Минковского является лоренцевым произведением (т. е. искривленным произведением в смысле определения 2.38 с / = 1). Если на R задана отрицательно определенная метрика —dt2, а на R"-1 задана обычная евклидова метрика go, то (R" = RX R"-1, —dt2® g0) есть n-мерное пространство-время Минковского.
Рассмотрим в пространстве-времени Минковского две точки р = (рх, ..., рп) и q = Iq1, ..., qn). Хронологическое отношение р < q выполняется, если P1 < и (рх — ?,)2 > (р2— q2)2 +••• 110 Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
-К(рЛ)
Рис. 4.2. Единичная сфера К (р, 1), соответствующая точке р, представляет собо:": половину двуполостного гиперболоид?. Она некомпактна, и точка р не лежит в выпуклом открытом множестве, границей которого К (р, 1) является.
• •• + (Pn — Qn)2 в Если р С Q' то расстояние между точками р н Cj задается формулой
d (Р, Я)
.1/2
(Pi - ?i)2 - Ij (Pt - Я if
1=2
«Единичная сфера» в пространстве-времени Минковского с центром в точке р определяется формулой К (р, 1) — \q Є М: d (р, q) = lj. Однако в действительности это множество представляет собой одну из полостей двухполостного гиперболоида (рис. 4.2).
Если из пространства-времени Минковского удалить одну точку, то оно уже не будет причинно простым, а значит, и глобально гиперболическим (рис. 4.3).
Все пространство-время Минковского можно конформно отобразить на малое открытое множество, содержащее начальную точку. Это показано на рис. 4.4 (см. Пенроуз (1972, с. 98), Хокинг и Эллис (1977, с. 139)). 4.1. Пространство-время Минковского 115
из полуоткрытого прямолинейного луча и полуоткрытого прямолинейного отрезка. Причинное будущее J+ (р) является объединением /+ (р) и E+ (р). Заметим, что J* (р) не совпадает с замыканием /+ (р) и вообще не является замкнутым.
Рис. 4.4. Пространство-время Минковского конформно открытому множеству, заключенному в двух указанных изотропных конусах. Вершины ?+ и і~ соответствуют времениподобной бесконечности. Все направленные в будущее времениподобные геодезические идут из J-Bi+. Множества Sf+ и представляют изотропную бесконечность в будущем и в прошлом. Топологически Sf+ и Э~ представляют собой R X Sn~2. Пересечение двух изотропных конусов —множество, которое отождествляется с единственной точкой і". Точка называется пространственноподобной бесконечностью. 112
Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
г- O-
изотропная геодезическая
- & '
Рис. 4.5. Показана диаграмма Пенроуза для пространства-времени Минковского.
Пространство-время Минковского и многие другие пространственно-временные многообразия можно представлять диаграммами Пенроуза. Укажем соглашения, используемые в диаграммах Пенроуза.
Диаграмма Пенроуза является двумерным представлением сфе-рически-симметричного пространства-времени. Радиальные изотропные геодезические представляются изотропными геодезическими,' проходящими под углами ±45°. Штриховая линия представляет полюс (г = 0) полярной системы координат. Точки, соответствующие гладким граничным точкам (см. разд. 11.5), которые не являются сингулярностями, изображаются простыми линиями. Двойные линии представляют неустранимые сингулярности (рис. 4.5; см., например, также рис. 3.2 пространства-времени Райстнера — Нордстрема с е2 = т2).
4.2. Пространства Шварцшильда и Keppa
В этом разделе мы опишем четырехмерные решения Шварцшильда и Keppa уравнений Эйнштейна. Пусть в K4 введены координаты (t, г, 0, ф), где (г, 0, ф) — обычные сферические координаты в R3. Для заданной положительной постоянной т внешнее пространство-время Шварцшильда определяется на подмноже- 4.2. Пространства Шварцшильда и Keppa _
113
стве г > 2т пространства R4, топологически эквивалентном R2 X S2. Швардшильдовская метрика в области г">2т задается в координатах (t, г, 0, ср) следующей формулой:
ds2 = — ( 1 A2 + (1 -^Ydr2 + г2 (dQ2 + Sin2Odcp2).
Каждый элемент группы вращения SO (3) пространства R3 индуцирует движение шварцшильдовского решения. Именно для яр ^ SO (3) движение г|з пространства-времени Шварцшильда определяется формулой г|з (t, г, 0, ф) ¦= (t, г|) (г, 0, ср)). Поэтому в фиксированный момент времени t внешнее пространство-время Шварцшильда сферически-симметрично. Метрика этого пространства-времени инвариантна также относительно переноса времени t ->-1 -Ь а. Координатное векторное поле d/dt является времени-подобным векторным полем Киллинга (которое есть градиент), и потому метрика называется статической. Это пространство-время является риччи-плоским (т. е. Ric -- 0). Используя уравнения Эйнштейна (см. добавление В), получаем, что тензор энергии-импульса для внешнего пространства-времени Шварцшильда тождественно равен нулю. Таким образом, это пространство-время пусто.
Внешнее пространство-время Шварцшильда можно рассматривать как лоренцево искривленное произведение (см. разд. 2.6). Пусть на M — {(?, г) ? R2: г >2т) задана лоренцева метрика
8 = -(1--71) ^ + (1—
а на H -= S2 — обычная риманова метрика h постоянной секционной кривизны 1, индуцированная вложением S2 —>- R3. Определим функцию /: M -+R по правилу / (t, г) ^= г2. Тогда (М Xf Н, g), где g = g 0 /h, представляет собой внешнее пространство-время Шварцшильда.
