Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
зическая, у которой в силу равенств с (0) = гъ с (1) = яр (гх) с (0) = с (1). Если с не является гладкой в с (0), то ее можно про-деформировать во времениподобную кривую о: [0, 1 I M со следующими свойствами: Lg (о) > L (с), о (0) = о (1) ? я (S1); при этом кривую о можно поднять до кривой o: [0, 1 ] М, 92
Г л. 3. Лоренцево расстояние
у которой 0 (0) ? S1, 0 (1) = ф (0 (0)) ? S2. Но тогда Lg (5) = = La (0) > Lg (с) = L- (с) — А, что и приводит к противоречию. ?
3.2. Изометрические и гомотетические отображения
Майерс и Стинрод (1939) и Палэ (1957) показали, что если отображение / риманова многообразия (N1, gx) на риманово многообразие (N2, g2) сохраняет расстояние, то/является диффеоморфизмом, сохраняющим метрические тензоры, т. е. /*g2 = gx. В частности, каждое отображение (N1, gx) на себя, сохраняющее расстояние, является гладкой изометрией. В этом разделе, следуя Биму (1978а), мы приведем аналогичные результаты для лоренце-вых многообразий.
Напомним, что диффеоморфизм /: (M1, gj) (M2, g2) лоренцева многообразия (M1, gx) на лоренцево многообразие (M2, g2) называется гомотетичным, если существует постоянная с > 0, такая, что g2 (f^v, f%w) = Cg1 (v, w) для любых v, w ?5 TpM1 и р a M1. В частности, если с = 1, то / — (гладкая) изометрия. Группа гомотетических преобразований важна в общей теории относительности вследствие того, что, как было показано Зиманом (1964) и Гебелем (1976), она является группой преобразований,сохраняющих причинную структуру большого класса пространств.
Обозначим через Cl1 лоренцеву функцию расстояния на (M1, gx), а через d2 лоренцеву функцию расстояния на (M2, g2). Аналог гладкого гомотетического отображения для расстояния определяется следующим образом.
Определение 3.16. Отображение f: (M1, gj) (M2, g2) называется гомотетично преобразующим расстояние, если существует постоянная с > 0, такая, что d2 (/ (р), f (q)) = Cd1 (р, q) для всех р, q ? M1. Если с = 1, то отображение / называют сохраняющим расстояние.
Важно отметить, что для произвольных лоренцевых многообразий сохранение расстояния не означает непрерывности отображения. Как мы видели, если (М, g) — полностью искаженное про-странство-время, то d (р, q) = оо для любых р, q ? M (см. лемму 3.2 (б)). Отсюда следует, что любая теоретически мыслимая биекция /: M M сохраняет расстояния, но не обязана быть непрерывной.
Теорема 3.17. Пусть (M1, gj) —сильно причинное пространство-время, a (M2, g2) —произвольное пространство-время. Если отображение /: (M1, gx) (M2, ga) является гомотетично преобразующим расстояние (/ не предполагается непрерывным), то / 3.2. Изометрические и гомотетические отображения
93
является гладким гомотетическим отображением, т. е. / — диффеоморфизм, и существует постоянная с > 0, такая, что f*?2 = cgi- В частности, каждое отображение сильно причинного пространства-времени на себя, которое сохраняет лоренцево расстояние, является изометрией.
Следствие 3.18. Если (М, g)—сильно причинное пространство-время, то пространство отображений (M, g) на себя, гомотетично преобразующих расстояние, наделенное компактно-открытой топологией, является группой Ли.
Доказательство следствия 3.18. Так как (М, g) сильно причинно, то эта группа по теореме 3.17 совпадает с пространством гладких гомотетических отображений M на себя, сохраняющих ориентацию во времени. А последняя является группой Ли. ?
Доказательство теоремы 3.17 разобьем на несколько лемм.
Лемма 3.19. Пусть (M1, gx) и (M2, g2) — два пространства-времени и f: (M1, gx) (M2, g2) — сюръективное (не обязательно непрерывное) отображение. Если f является гомотетично преобразующим расстояние, то
(а) р Ч тогда и только тогда, когда f (р) < / (<7).
(б) / (/+ (р) п і- т = /+ (/ (P)) л /- (/ т.
Доказательство. Первое утверждение (а) выполняется вследствие того, что d2 (/ (р), f (q)) = Cd1 (р, q) и р -CC q (соответственно f (р) f (q)), тогда и только тогда, когда dx (р, q) > 0 (соответственно d2 (/ (р), f (q)) > 0). Из того, что (а) обеспечивает справедливость отношений р ^ г -C^ q в том и только том случае, когда / (Р) С / (г) С / (<7)» получаем утверждение (б). ?
Утверждение (б) важно вследствие того, что если (М, g) сильно причинно, то множества {/+ (р) П (q)'- P-, Я ^ Щ образуют базис топологии на М. Напомним, что отображение /: M1 M2 называется открытым, если / переводит каждое открытое множество из M1 в открытое множество из M2.
Лемма 3.20. Пусть (M1, gx) — сильно причинное пространство-время, a (M2, g2) — произвольное пространство-время. Если f — отображение (M1, g^ на (M2, g2) (не обязательно непрерывное), гомотетично преобразующее расстояние, то f открыто и взаимно однозначно.
Доказательство. Открытость / немедленно вытекает из утверждения (б) леммы 3.19. Остается показать, что / является взаимно однозначным. Предположим противное: найдутся точки р и q из M1, такие, что / (р) = / (q). Пусть U (р) — открытая окрестность р, не содержащая q и такая, что никакая непространственноподобная кривая не пересекает U (р) более чем один раз. Выберем 94
