Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Однако вскоре мы увидим, что для некомпактных групп Ли, имеющих вид k . G, где G -- произвольная группа Ли, допускающая бпкнвариантную риманову метрику, можно построить большой класс биннваркантных лоренцевых метрик.
Прежде чем предъявлять соответствующую конструкцию, необходимо кратко остановиться на попятии произведения групп Ли. Пусть G и Я — группы Ли. Произведение многообразий G >; Я превращается в группу Ли, если умножение определить на нем по формуле
(gi, К) X A2) = te, A1A,)- С4-2)
Непосредственно из соотношения (4.2) следует, что если ff = " (g, h) G G X Я, то отображения сдвига L0, Ra: G х Я' ->• -»• G X Я задаются по правилам Ln - (Lg, Lh) и Rn -- (Rg, Rh), т. е. Ln (gr, A1) - (Lggl, L-A1) и т. п. Напомним, что T0 (G х Я) = эё TgG к T1H. Прямыми вычислениями можно убедиться в том, что для любого er G G X Я и любого касательного вектора | — = (и, w) G T0 (G X Я) TbG X ThH справедливы следующие формулы:
ил = (Lg^LhtW) (4.3)
и
ЯсД = (Retv, Ri-tw). (4.4)
Если (, — лоренцева метрика на G, а (, )2 — риманова метрика на Я, то ((,)) --- (, © (, )2 — лоренцева метрика на произведении G \ И. Для касательных векторов I1 = (^1, W1) и I2 = (v2, w2) из пространства T0 (G х Я), вспоминая определение 2.38, это можно записать следующим образом:
((?1. &>)) = (l'l- г (a'l, ш2)2.
Из формул (4.3) и (4.4) немедленно вытекает, что если (, — биинвариантная лоренцева метрика на G, а ( , )2 — биинвариант-ная риманова метрика на Я, то ((,)) — биинвариантная метрика произведения G X Я. Подведем итог.
Предложение 4ЛЗ. Пусть (G, (, )х) — группа Ли, наделенная биинвариантной лоренцевой метрикой и (Я, (, )2) — группа Ли, наделенная биинвариантной римановой метрикой. Тогда (( , )) --= = (» )i ® (» )г — биинвариантная лоренцева метрика для произведения групп Ли G X Я. Следовательно, (G X Я, ((,))) является 124
Гл. 4. Примеры пространственно-временных многообразий
лоренцевым симметрическим пространством и, в частности, геодезически полно.
Доказательство. Необходимо доказать только последнее утверждение, применяя для этого стандартные приемы из теории групп Ли. Напомним, что мы должны показать, что для каждого a ^ G X H существует изометрия Ia: G х Я -»• G х Я, которая оставляет а на месте и переворачивает геодезические, проходящие через ff, т. е. нужно показать, что если у — геодезическая на G X Я и у (0) = ff, то Ia (у (/)) -- у (—t) для всех t. Это равносильно тому, что отображение I„f : Ta (G х Я) ->¦ Ta (G х Я) действует по правилу (? — —ь, а также, что /§ = id.
Мы будем следовать доказательству, предложенному Мил-нором (1966, с. 119, 122). Обозначил! через е единичный элемент GxH и определим отображение Ie\ G х H ->• G х H посредством соотношения Ie (er) = ff"1. Тогда Ic,: Te (G X Н) ->• Tr, (G х H) задается формулой /,, (и) —v. Поэтому Ic,'. Te (GxH) ->• -»• Te (G -X Н) является изометрией пространства Te (G х Н). Чтобы убедиться в том, что Ie, — изометрия любого другого касательного пространства Ta (G х Я) ->• T0-1 (G х Я), и, значит, в том, что Ie: G х Я —»• G х Я — изометрия, заметим просто, что
Iezlz- Ro-1I ,До-1-
Так как ((,)) биинвариантна, то все левые и все правые сдвиги являются изометриями. Тогда из формулы
и того факта, что Ift \е — изометрия Te (G х Я), получаем, что Irt- Tf5 (G X Я) -»• Tq-і (G X Я) также является изометрией. Поэтому отображение I,,: G х Я ->• G х Я является требуемой геодезической симметрией в е.
Геодезическую симметрию /а для любого ff G G x Я определим посредством формулы /0 = RaIeR0-I. Так как и — изометрии вследствие биинвариантности ((,)) и, как мы только что показали, Ie — также изометрия, то Ia: G х Я -»• G X H является изометрией. и ясно, что Ia (ff) — ff в силу соотношения Ia (К) =
= CrZi-1Cr. Окончательно для любого | ^ Ta (G х Н) получаем ^ = ^.(^.(^))=^.(-^) =
ввиду того, что ^0JiI G Te (G х Я). Таким образом, /а переворачивает геодезические в в, как и требовалось. Следовательно, мы доказали, что G х Я — симметрическое пространство.
То, что любое симметрическое пространство геодезически полно, можно показать следующим образом. Пусть у геодезическая 4.5. Биинвариантные лоренцевы метрики
125
из M и р = у (O). Предположим, что определена q = у (Л). Тогда при условии, что определены у (t) и у (t + 2А), можно получить формулу (см. Милнор (1966, с. 119))
V;> (У (0) = T (t + 2Л).
Поэтому, если геодезическая у первоначально огфеделена на отрезке [0, А], у: 10, M —»• G X Н, то ее можно продолжить до геодезической у: [0, 2Х\ ->• G х H путем выбора q = у (А/2), положив у it) — IqIр (у (t — А)) для t G I А, 2Х 1. Ясно, что Y таким способом можно продолжить на (—оо, оо). Тем самым (G х Н, ((,))) является геодезически полным. ?
Предложение 4.13 имеет несомненный недостаток, состоящий в том, что в нем предполагается существование групп Ли (G, (, наделенных биинвариантными лоренцевыми метриками. Сейчас будет показано, что такие группы Ли можно строить из произведений вида (R X G, —dt2 © (, )), где (G, (, )) является группой Ли, оснащенной римановой биинвариантной метрикой.
